Rozkład ilości elementów dobrych między dwoma złymi

[mammamia]

Mam takie zadanie i niestety znowu moje rozwiązanie nie zgadza się z odpowiedzią :/

zad. Przez taśmę produkcyjną przechodzą elementy dobre lub złe. Prawdopodobieństwo, że element jest dobry wynosi \(\displaystyle{ p}\), że zły \(\displaystyle{ 1-p}\). Wyznaczyć rozkład ilości elementów dobrych między dwoma złymi.

Jak dla mnie to jest:
\(\displaystyle{ X}\)- zmienna losowa opisująca ilość elementów dobrych między dwoma złymi
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)p^k(1-p)= p^k(1-p)^{2}}\)

niestety w odpowiedziach mam "nieco" inaczej:

\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)p^k}\)

Dlaczego źle robię myśląc, że pp wystąpienia \(\displaystyle{ k}\) dobrych elementów między dwoma złymi będzie równe iloczynowi ppstwa wystąpienia złego elementu , \(\displaystyle{ k}\) dobrych elementów i znowu złego elementu?

[Jacek_Karwatka]

Odpowiedź w książce jest dobra.
Niepotrzebnie liczysz pierwszy zły element. Zaczynamy liczyć od złego elementu i na pewno wiemy że element na pierwszym miejscu jest zły. Inaczej mówiąc prawdopodobieństwo wystąpienia złego elementu na pierwszym miejscu jest 1.
Może to być zaskakujące ale wynik jest taki sam jak w przypadku liczenia liczby dobrych elementów do pierwszego złego zaczętego w losowym momencie. Jest to przykład braku pamięci rozkładu. Rozkład liczby kolejnych dobrych elementów do pierwszego złego nie zależny od tego ile dobrych elementów już zliczyliśmy.
Inny sposób sprawdzenia to zsumowanie wszystkich prawdopodobieństw. Dochodzimy do sumy nieskończonego szeregu geometrycznego. W przypadku odpowiedzi z książki suma ta daje 1 tak jak być powinno dla rozkładów. Twoja odpowiedź nie sumuje się do 1.