Prawdopodobieństwo zepsucia się w ciągu 100 h pracy

[mammamia]

Witam,

mam takie oto zadanie

Zad. Aparatura radiowa psuje się średnio 10 razy na 10000 h. Obliczyć prawdopodobieństwo zepsucia się jej w ciągu 100 godzin pracy.


Rozwiązanie mam i mam problem z jego zrozumieniem, gdyż są to jedynie suche obliczenia Więc tak:
prawdopodobieństwo policzymy z rozkładu Poissona, i dalej mam napisane tak:

\(\displaystyle{ a=0,001}\)zepsuć na \(\displaystyle{ 1 h}\) - to wiadomo
\(\displaystyle{ T=100h}\) - to z danych
\(\displaystyle{ \lambda = a*T=0,1}\) - no niech będzie, chociaż ja bym napisała że \(\displaystyle{ \lambda=0,001}\)
\(\displaystyle{ P(X=1,T)=1-P(X=0,T)=1- \frac{(a*T)^k}{k!}e^{(-\lambda)}=1- \frac{(0,1)^0}{0!}e^{(-0,1)} =1-e^{(-0,1)}}\) - tu w ogóle się pogubiłam, skoro oczekiwana liczba awarii ma być 1 to dlaczego liczymy ze zdarzenia przeciwnego... Dlaczego nie można podstawić bezpośrednio k=1? Odpowiedź zgadza się z podaną w zbiorze zadań.

Proszę o pomoc w zrozumieniu, bo to jest straszne :/

[jsf]

Źle rozumiesz treść zadania. Jeżeli aparatura w ciągu stu godzin popsuła się milion razy, to w szczególności popsuła się raz i takie zdarzenie też siedzi w zbiorze zdarzeń sprzyjających. Zadanie, które Ty chciałabyś rozwiązać, byłoby sformułowane: "oblicz prawdopodobieństwo dokładnie jednego zepsucia się ...". Tutaj rozważanie zdarzenia przeciwnego ma sens.

Co do rozwiązania, jest błędne.

Z rozkładu Bernoulliego wiemy, że prawdopodobieństwo nie popsucia się aparatury w ciągu stu godzin to
\(\displaystyle{ {100 \choose 0}(0,001)^{0}(0,999)^{100}=(0,999)^{100}.}\) To jest wynik dokładny, ale podnoszenie \(\displaystyle{ 0,999}\) do setnej potęgi jest upiorne.

Dlatego często korzysta się z twierdzenia Poissona ( Tym niemniej w twierdzeniu Poissona równość zachodzi dopiero w granicy, a tu liczba prób nie dąży do nieskończoności, tylko jest stale równa \(\displaystyle{ 100.}\) Chociaż \(\displaystyle{ 100}\) jest dostatecznie dużą liczbą, żeby przybliżenie było (bardzo) zadowalające, to jednak daleko jej do nieskończoności, więc równości nie ma - drugą równość w ostatnim wyrażeniu powinnaś więc zmienić na znak \(\displaystyle{ \approx ,}\) a pierwszą wykreślić, bo jest nieprawdziwa. Powinno być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1,2,3,...,~T)=1-\mathbb{P}(X=0,~ T) \approx ...~.}\)

Na przykład w tym zadaniu mamy
\(\displaystyle{ (0,999)^{100} = 0,904792... \neq 0,904837... = e^{-0,1}.}\)

PS. \(\displaystyle{ \lambda}\) jest policzona dobrze, przyjrzyj się temu, co jest napisane w Wiki.

[mammamia]

Bardzo Ci dziękuję, że przyjrzałeś się zadaniu. Jeśli mógłbyś, powiedz mi tylko co oznacza zapis
\(\displaystyle{ P(X=1,2,3,...,T) i P(X=0,T)}\)?

To pierwsze to prawdopodobieństwo, że aparatura popsuje się 1 lub 2 lub 3 lub więcej razy, do momentu T. A drugie oznacza prawdopodobieństwo liczby awarii 0 do momentu T?? Czy dobrze myślę?

[jsf]

Starałem się wstrzelić w Twoje oznaczenia i najwyraźniej się udało, bo dobrze myślisz.

[mammamia]

Z kolei jedno z następnych zadań brzmi:

Zad.
Dany jest miernik, który psuje się średnio po 200 h ekploatacji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że miernik ulegnie uszkodzeniu po 20 h pracy?

Odpowiedz w zbiorze zadań jest tu analogiczna jak przy poprzednim zadaniu, rozwiązanie które ktoś robił też. Ja jednak jako że mam mały problem z rozgryzieniem treści tak czytam i zastanawiam się, bo mamy tu dwie kwestie:
1. zepsucie się aparatury w ciągu 100 h pracy
2. zepsucie się po 20 h pracy

i wydaje mi się że nie oznaczają one tego samego :/ i mam problem dlaczego liczone jest podobnie.

Czy poprawne jest w tym wypadku rozumowanie:

\(\displaystyle{ 200h}\) pracy - 1 uszkodzenie, stąd:
\(\displaystyle{ 1h = 0,005}\) uszkodzenia \(\displaystyle{ a=0,005}\)
\(\displaystyle{ \lambda= a*T=20 *0,005}\)

Czyli, reasumując, bo może wyjaśniam trochę chaotycznie, mam problem z tym, czy jeśli w treści jest powiedziane że coś się psuje np. 1 raz na 200h czy też 1. raz po 200h to \(\displaystyle{ \lambda}\) liczymy tak samo?

[jsf]

Przypuszczam, że sformułowanie "miernik, który psuje się średnio po 200h eksploatacji" jest równoważne stwierdzeniu "miernik psuje się średnio raz na 200h eksploatacji", więc robisz te zadanie dobrze.

Tym niemniej gdybyśmy mieli magiczny miernik, który psuje się równo w trzy setnej godzinie eksploatacji, można byłoby argumentować, że średnio psuje się po 200h eksploatacji (bo zanim minie 300h, to minęło te 200h). Czasami w takich zadankach trzeba po prostu zgadywać, co autor miał na myśli.

Z jakiegokolwiek zbiorku korzystasz, autorom bardzo na precyzji nie zależało. A szkoda, bo potem ludzie mechanicznie rozwiązują takie zadanka rozkładem Poissona dziwiąc się, że nie mają pojęcia, jak taki proces może mieć taki rozkład. Nikt im nie tłumaczy, że mają rację i proces wcale rozkładu Poissona nie ma, tylko jest mu w pewien sposób bliski.

[mammamia]

Pięknie dziękuję