prawdopodobieństwo dla funkcji

[pocahontas005]

Witajcie,
proszę o pomoc w takim zadaniu:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x+2a \ \ \ \ \ dla 0 \le x<1 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ pozostalych\end{cases}}\)


Obliczyć prawdopodobieństwo, ze wartosc zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[scyth]

Na pewno jest dobrze? Bo dostajemy tutaj gęstość równą \(\displaystyle{ 3x}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (domknięcia nie mają znaczenia) - a to się nie całkuje do 1.

[pocahontas005]

Ups, poprawiłam powinno być a zamiast x

[scyth]

No to na początek - całka z gęstości ma być równa 1. Ile wynosi \(\displaystyle{ a}\)?

[pocahontas005]

a wyszło mi 1, ok? I teraz własnie trzeba nie wiem co dalej, zawsze robiłam kiedy mialam m i \(\displaystyle{ \partial}\) i korzystałam z wzoru \(\displaystyle{ \frac{x-m}{ \partial }}\), a tutaj jak?

[scyth]

\(\displaystyle{ a=1}\)? Chyba nie...

[pocahontas005]

Upsss

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x+2a=1}\)

\(\displaystyle{ a\left[ \frac{ x ^{2}}{2} +2x \right]^1_0=1}\) miało być w granicy od 0 do 1

\(\displaystyle{ a( \frac{1}{2}+2- \frac{1}{2}-2 )}\)

\(\displaystyle{ a=1}\)

[scyth]

Dlaczego \(\displaystyle{ a}\) poszło przed nawias?

[pocahontas005]

czyli:


\(\displaystyle{ \left[ \frac{ a \ x ^{2}}{2} +a \ 2x \right]^1_0 =1}\)


?

[scyth]

Skąd \(\displaystyle{ a}\) przy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2}}\) ?

[pocahontas005]

\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \ x ^{2}}{2} +a \ 2x \right]^1_0=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+2a=1}\)
tak?

[scyth]

tak

[pocahontas005]

czyli \(\displaystyle{ a= \frac{1}{4}}\)

-- 11 gru 2012, o 23:08 --

czyli druga częśc będzie tak wyglądała?

\(\displaystyle{ P(x< \frac{1}{2} )= \int_{- \infty }^ \frac{1}{2} {f(x)dx}= \int_{- \infty }^{0}Odx+ \int_{ 0 }^{ \frac{1}{2} }x+ \frac{1}{2}dx}\)


tak?

[scyth]

Nie. Najprościej będzie, jeśli wyznaczysz dystrybuantę i znajdziesz punkt \(\displaystyle{ x}\), dla którego przyjmuje ona wartość równą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Albo po prostu szukasz takiego \(\displaystyle{ x}\), że całka z gęstości od zera do tego punktu jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).