Dystrybuanta zmiennej losowej

pocahontas005 · Post autor: **pocahontas005** » 11 wrz 2012, o 12:10

Witajcie,

mam takie zadanko:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ F(X)= \frac{1}{2}+B \arctg x}\)
Dobrać stałą \(\displaystyle{ B}\), by ta fukcja była dystrybuantą zmiennej losowej.

Wcześniej w zadaniu dona jeszcze była funkcja \(\displaystyle{ X-F(x)}\), ale nie wym czy to trzeba brać pod uwagę.

scyth · Post autor: **scyth** » 11 wrz 2012, o 13:06

\(\displaystyle{ \arctan}\) jest funkcją ograniczoną, rosnącą, więc będzie ok. Skorzystaj z własności dystrybuanty oraz tej funkcji i niemal od razu dostaniesz \(\displaystyle{ B=\frac{1}{\pi}}\).

pocahontas005 · Post autor: **pocahontas005** » 11 wrz 2012, o 15:14

Czyli z zależności:

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{ \infty } f(x) dx=1}\)

?

wdsk90 · Post autor: **wdsk90** » 11 wrz 2012, o 15:20

Na przykład.

scyth · Post autor: **scyth** » 11 wrz 2012, o 16:17

Możesz pisać tutaj, tamten temat przeniosłem do kosza.
Całkujesz gęstość, nie dystrybuantę - tam miałaś ten błąd.
Skorzystajmy z tego, że \(\displaystyle{ F(-\infty )=0}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0 = \frac{1}{2} + B \arctan (-\infty ) = \frac{1}{2} + B \cdot (-\frac{\pi}{2}) \\
\frac{1}{2} = \frac{B \pi}{2} \\
\Rightarrow B = \frac{1}{\pi}}\)
Możesz sprawdzić, że teraz też \(\displaystyle{ F(\infty )=1}\), czyli się zgadza. To + monotoniczność i ciągłość funkcji \(\displaystyle{ \arctan}\) załatwiają sprawę.