Niech \(\displaystyle{ A_{n}}\) będzie ciągiem parami rozłącznych zdarzeń losowych. Obliczyć \(\displaystyle{ P(A_{n})}\) oraz \(\displaystyle{ P( A_{1})}\), jeżeli:
\(\displaystyle{ P( A_{n} \cup A_{n+1}) = \frac{7}{16} \left(\frac{3}{4}\right)^{n}}\).
Czy mógłby ktoś wyjaśnić krok po kroku, jak rozwiązać to zadanie?
Suma zdarzeń rozłącznych
-
szw1710
Suma zdarzeń rozłącznych
Mamy tu ciąg rekurencyjny. Niech \(\displaystyle{ a_n=P(A_n).}\) Z rozłączności zdarzeń wnosimy, że \(\displaystyle{ P(A_n\cup A_{n+1})=P(A_n)+P(A_{n+1}).}\) A zatem mamy taką rekurencję: \(\displaystyle{ a_n+a_{n+1}=\frac{7}{16}\left(\frac{3}{4}\right)^n.}\) Oznacza to, że
\(\displaystyle{ a_{n+1}=-a_n+\frac{7}{16}\left(\frac{3}{4}\right)^n\,.}\)
Spróbuj z nią powalczyć.
\(\displaystyle{ a_{n+1}=-a_n+\frac{7}{16}\left(\frac{3}{4}\right)^n\,.}\)
Spróbuj z nią powalczyć.
-
jellyelli
Suma zdarzeń rozłącznych
\(\displaystyle{ a _{1} -a _{1} + \frac{7}{16} \cdot \left( \frac{3}{4}\right) + a_{3} -a_{3} +\frac{7}{16} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{2}}\) itd.
Wychodzi na to, że trzeba policzyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \frac{7}{16} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n}}\). Nie za bardzo wiem, jak to zrobić. Czytałam na temat różniczkowania sumy szeregu, ale cały czas otrzymuję zły wynik. (Podstawiłam za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\), a potem zróżniczkowałam \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\).
Wychodzi na to, że trzeba policzyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \frac{7}{16} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n}}\). Nie za bardzo wiem, jak to zrobić. Czytałam na temat różniczkowania sumy szeregu, ale cały czas otrzymuję zły wynik. (Podstawiłam za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\), a potem zróżniczkowałam \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\).