Z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1,1 \right\rangle}\) wybieramy losowo dwa punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Wyznaczyć w zależności od parametru \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) prawdopodobieństwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ y \le m(x+1)}\)
W tego typu zadaniach nie za bardzo rozumiem, jak wyznaczyć odpowiednie przedziały zmienności parametru. W tym przypadku granicami przedziałów będą liczby \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Z mojej analizy wynikało, że jest to \(\displaystyle{ 0}\). Z góry dziękuję za pomoc.
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne
Rysujemy kwadrat \(\displaystyle{ [-1,1]\times [-1,1]}\) oraz prostą \(\displaystyle{ y=m(x+1).}\) Dla rozgrzewki weź np. \(\displaystyle{ m=1}\) Obliczamy pole obszaru leżącego w kwadracie i pod naszą prostą. Jeszcze dzielimy to przez pole kwadratu. To jest nasze prawdopodobieństwo. Teraz weź np. \(\displaystyle{ m=2,\;m=0,\;m=-1.}\) Wszystko narysuj. Chyba powinno to dać jakieś pojęcie o zadaniu. Teraz rozważ różne wartości \(\displaystyle{ m.}\) Wskazówka: równanie \(\displaystyle{ y=m(x+1)}\) określa pęk prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ (-1,0)}\) za wyjątkiem prostej pionowej \(\displaystyle{ x=-1.}\)
Dobranoc. Jeśli chcesz, podyskutuję z Tobą jutro.
Dobranoc. Jeśli chcesz, podyskutuję z Tobą jutro.
Prawdopodobieństwo geometryczne
Czyli przedziały zmienności parametru \(\displaystyle{ m}\) wynikają ze zmiany przedziału, dla którego liczymy całkę?
Prawdopodobieństwo geometryczne
Tu żadnych całek nie trzeba. Mamy przekroje kwadratu prostą, których pola łatwo obliczyć. Wygląd przekroju zależy od parametru \(\displaystyle{ m}\). Proste są zaczepione w wierzchołku kwadratu. Poobracaj je - odpowiada to rozważeniu wszystkich możliwych parametrów - i pooglądaj jakie to przekroje. Będą czworokąty, w pewnym przypadku trójkąt, w innych tylko jeden punkt.