Granica według rozkładu

[silvaran]

\(\displaystyle{ X_n}\) ciąg iid o rozkładzie Laplace'a z funkcją char \(\displaystyle{ \phi (t)=\frac{1}{1+t^2}}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ N_n}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ Pois(n)}\). Oba ciągi są niezależne.
Niech \(\displaystyle{ S_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{N_n}X_k}\)

Zbadać granicę według rozkładu ciągu \(\displaystyle{ S_n}\)

To policzę funkcję char tego ciągu. To będzie tak:
\(\displaystyle{ Ee^{itS_n}=E(E(e^{itS_n}|N_n))=E( \prod_{k=1}^{N_n}E(e^{itX_k})^{1/\sqrt{n}}))=E\phi(t)^{N_n/\sqrt{n}}=\phi(t)^{\sqrt{n}}}\)

czy to jest dobrze? Jeśli tak, to taka funkcja zbiega do funkcji stałej równej 0 (dla \(\displaystyle{ t \neq 0}\)). A chyba nie ma takiej zmiennej losowej?

[Wasilewski]

Tam, gdzie w wykładniku masz \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}}}\), powinno znaleźć się \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), wtedy wychodzi coś rozsądnego.
Tak swoją drogą, to nawet dla \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) wynik jest inny niż \(\displaystyle{ \phi(t)^{\sqrt{n}}}\).

[silvaran]

Tam w sumie jest pierwiastek, źle wpisałem i go nie wyświetliło.

[Wasilewski]

Wcześniej coś mi się pomyliło i faktycznie z pierwiastkiem jest dobrze. Przed ostatnią równością powinno być \(\displaystyle{ \mathbb{E} \phi(\frac{t}{\sqrt{n}})^{N_{n}}}\) i wtedy wychodzi \(\displaystyle{ e^{\frac{-t^{2}}{1+\frac{t^{2}}{n}}}}\), co jest całkiem sensowne, bo ta suma ma średnią długość \(\displaystyle{ n}\), a wariancja zmiennej o rozkładzie Laplace'a jest równa 2.