Martyngał względem filtracji naturalnej

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ X_n}\) ciąg zmiennych losowych iid o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U[-1,1]}\). Niech \(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n} X_i}\). Dla jakich ciągów \(\displaystyle{ b_n, c_n}\) ciąg
\(\displaystyle{ Y_n=S^4_n+b_n S^2_n+c_n}\)
jest martyngałem względem filtracji naturalnej ciągu \(\displaystyle{ X_n}\)? Zakładamy, że \(\displaystyle{ b_1=c_1=0}\)

To jedziemy \(\displaystyle{ E(Y_n-Y_{n-1}|\sigma (X_1,X_2,\dots X_n))=0}\)

Jakieś pomysły na sprytne rozpisanie tych sum?

[Wasilewski]

W przypadku martyngałów z czasem ciągłym \(\displaystyle{ (M_{t})}\) warto rozważać martyngał wykładniczy \(\displaystyle{ \exp(\lambda M_{t} - \frac{1}{2} \lambda^{2} \langle M \rangle_{t})}\), gdzie \(\displaystyle{ \langle \cdot \rangle_{t}}\) oznacza nawias skośny. Można go zróżniczkować cztery razy, następnie wstawić \(\displaystyle{ \lambda = 0}\), by uzyskać martyngał (o ile mamy zapewnioną odpowiednią całkowalność), który będzie wielomianem czwartego stopnia względem \(\displaystyle{ M_{t}}\); to jest taka martyngałowa funkcja tworząca momenty. Jeśli spróbować przenieść to bezpośrednio na przypadek dyskretny, to otrzymamy martyngał (o ile się nie pomyliłem) \(\displaystyle{ \exp(\lambda S_{n} - \frac{n \sinh(\lambda)}{\lambda})}\), co może być dość nieprzyjemnym obiektem do czterokrotnego różniczkowania. Być może lepszym dyskretnym odpowiednikiem martyngału wykładniczego jest coś takiego \(\displaystyle{ Z_{n} = \prod_{i=1}^{n} (1+\lambda X_{i})}\), ale liczenie pochodnych takiego iloczynu też nie wróży nic dobrego. Podsumowując, chyba najlepiej rozpisać te sumy na chama, a nie liczyć na sprytne rozwiązanie.