Dystrybuanta zmiennej X

[pocahontas005]

Witajcie, mam taki problem:

\(\displaystyle{ F(x)=}\)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x<2 \\4(1-\frac{5}{x}) \ \ \ dla \ 2<x \le k \\1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x>k \end{array}}\)

a) dla jakiej stałej \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ k}\)}\)jest to dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ X}\)
b) Obliczyc prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(1<x<3)}\)

Nie wiem z czego skorzystać już w punkcie a, tzn \(\displaystyle{ \int f(t)dt=1}\) przecież mamy dystrybuantę, myślałam o \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\), ale nic mi nie wychodzi.

Z góry dziekuję za pomoc!!

[pyzol]

\(\displaystyle{ F(k)=1}\). Natomiast niepokoi mnie liczba pięć. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x=2{,}5}\) masz wartość ujemną.

[pocahontas005]

Dzięki za odpowiedź, a mógłbyś mi rozpisać tą całkę?
Spr w treści zad i tam jest faktycznie 5 :/
Będę wdzięczna!

[pyzol]

Ale po co masz rozpisaywać jak dystrybuanta to całka. Błąd jest generalnie w treści przez tę piątkę. Zamieniając na \(\displaystyle{ 2}\), musisz sprawdzić warunki. Dystrybuanta ma być prawostronnie ciągła (tu brakuje nierówności słabej dla 2), niemalejąca oraz ma mieć odpowiednie granice w nieskończonościach.
Liczenie pochodne a potem całki jest bez sensu robisz dwa razy to samo:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(t)\mbox{d}t=F(b)-F(a)}\).
Załóżmy, że tam jest liczba \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 5}\).
W tym wypadku:
\(\displaystyle{ F(2)=0}\) więc jakoś ładnie nam to się układa.
\(\displaystyle{ F(k)=4(1-\frac{4}{k})=1\\
1-\frac{4}{k}=\frac{1}{4}\\
\frac{4}{k}=\frac{3}{4}\\
\frac{k}{4}=\frac{4}{3}\\
k=\frac{16}{3}}\)
Teraz powinnaś jeszcze monotoniczność sprawdzić.
Następnie \(\displaystyle{ P(1<X<3)=F_X (3)-F_X (1)}\)