Rozkład normalny - zadania

[pocahontas005]

Witajcie, mam problem z takimi zadaniami, będę bardzo wdzięczna za pomoc!


ZAD 1. Zmienna losowa ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(3,2)}\) (wart. średnia \(\displaystyle{ 3}\), odchylenie \(\displaystyle{ 2}\)). Podać \(\displaystyle{ x_{1}}\), dla którego \(\displaystyle{ P(X < x_{1})= 0,2}\)

ZAD 2. Zmienna losowa x jest określona funkcją rozkładu:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 5 & 10 & 20 \\ \hline
p & 0,5 & 0,25 & 0,1 & 0,05 \\ \hline
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ E(x)=4}\); Znajdź \(\displaystyle{ x_{2}}\) i \(\displaystyle{ p_{4}}\).

ZAD 3.Dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ x - F(x)}\)
Czy prawdą jest, że:
a) F musi być niemalejąca
b) Jeżeli zmienna x ma rozkład \(\displaystyle{ N(2,10)}\), to\(\displaystyle{ F(4)=1/2}\)

Ad 1.

Dokonuję standaryzacji czyli:
\(\displaystyle{ p(\frac{x-3}{2}<\frac{x_{1}-3}{2)}=0,2}\)
\(\displaystyle{ \phi(\frac{x_{1}-3}{2})=0,2}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}-3}{2}=...}\) no właśnie powinna byc wartosc z tablic, ale w moich tablicach nie ma \(\displaystyle{ \phi=0,2}\) tylko \(\displaystyle{ \phi=0,9..}\) <?>

Ad. 2.
\(\displaystyle{ E(x)=4}\) czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} n_{i}p_{i}=4}\)
Czy tutaj dobre jest polecenie? Jak x2 skoro nie mamy p2?

Ad. 3.

a. PRAWDA
b. FAŁSZ, ale nie wiem jak to wyjasnic, na mysl podsuwa mi się tylko równanie: \(\displaystyle{ F(4)=1/2}\)


Mam jeszcze takie problemy, a nie chcę zakładać nowego wątku:

ZAD 4 Zmienna losowa x ma rozkład ciągły określony:

f(x)= \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1/3 dla \quad -1\le x<0 \\2x^2 dla \quad 0\lex<1\\0 \quad pozostałe \end{array}}\)
Szukana to \(\displaystyle{ V(x)}\)

Problem w tym, że wariancja wychodzi mi ujemna.

Moje wyniki:
\(\displaystyle{ E(X)=\int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{3}xdx+\int\limits_{0}^{1}2x^3dx=..=\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ E(X^2)=\int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{3}xdx+\in^2t\limits_{0}^{1}2x^4dx=..=\frac{23}{45}=0,51}\)
czyli:
\(\displaystyle{ V(X)=0,51-(\frac{5}{6})^2=-0,18}\)


Bardzo proszę o sprawdzenie.



ZAD 5

\(\displaystyle{ X}\) staż pracy, \(\displaystyle{ Y}\) wysokość płacy, uzyskano:
suma dziesięciu Xi =\(\displaystyle{ 38,5}\)
suma dziesięciu Yi = \(\displaystyle{ 36,2}\)
suma dziesięciu Xi*Yi = \(\displaystyle{ 150,34}\)
\(\displaystyle{ Vx = 0,74}\)
Ile wynosi współczynnik kierunkowy funkcji regresji liniowej a?

Proszę o pomoc: jak mam obliczyć a skoro nie mam konkretnych danych? Nie mam pojęcie do czego wykorzystać \(\displaystyle{ Vx = 0,74}\) ?

[Jacek_Karwatka]

ad 1
Rozkład normalny jest symetryczny często tablice są układane tylko dla jednaj połowy np \(\displaystyle{ x>0}\)
wtedy dystrybuanta zaczyna się 0.5 do 1. Jeśli pytamy o x dla wartości np 0.2 trzeba sprawdzić dla 0.8 i odbić x (wziąć -x)

ad 2
Prawdopodobieństwa powinny się sumować do jedności \(\displaystyle{ \sum p _{i}=1}\) stąd p2=0.1.

ad. 3
rozkład normalny jest symetryczny.
Dystrybuanta F(x) ma wartość 1/2 dla wartości średniej. Tutaj mamy 2 F(2)=1/2

nie bardzo rozumiem punt a

[pocahontas005]

Dziękuję za odpowiedź! Proszę jeszcze zerknąć na 4 i 5.

ad 2
A p4? Czyli p=4? Przecież suma p wynosi 1.

ad 3
a - zasugerowałam się, że F(x) jest niemalejąca, ale w takim razie skoro mamy X, więc będzie FAŁSZ
b - mogłabym prosić o rozpisanie 2 F(2)=1/2, bo nie bardzo rozumiem

[Jacek_Karwatka]

ad 2

jeśli dobrze rozumiem tabelkę to górny wiersz to wartości zmiennej losowej x a dolny to prawdopodobieństwa.
Z treści wnioskuję że dwie komórki powinny być puste (P4 i x2)
Wartość p4 można wyznaczyć z \(\displaystyle{ \sum p_{i}=1}\)
Dolny wiersz sumuje się do 0.9 stąd \(\displaystyle{ p _{4}=0.1}\)

x2 z równania które podałaś:
\(\displaystyle{ E(x)=4}\) czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} n_{i}p_{i}=4}\)

ad 3
a - zasugerowałam się, że F(x) jest niemalejąca, ale w takim razie skoro mamy X, więc będzie FAŁSZ
b - mogłabym prosić o rozpisanie 2 F(2)=1/2, bo nie bardzo rozumiem

zakładam ze zapis F(x) to dystrybuanta rozkładu. Mamy rozkład normalny (2,10).
Stąd już dla wartości 2 mamy F(2)=1/2. Dla 4 będzie więcej. F(4)>1/2 Ile dokładnie nożna sprawdzić w tablicach. Najpierw oczywiście znormalizować.

ad.4

Według moich obliczeń:
\(\displaystyle{ E(X)=\int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{3}xdx+\int\limits_{0}^{1}2x^3dx=\frac{1}{6}x ^{2}|_{-1}^{0}+ \frac{2}{4}x^4|_{0}^{1}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}}\)

ad 5

wzór na a jest np tu: http: //labor.ps.pl/e/er11.html
Nie potrzeba konkretnych danych potrzebne są sumy x i y wartości sumy xy i wariancja x

[pocahontas005]

ad 5

Skorzystałam z wzoru:

\(\displaystyle{ a=\frac{n\sum_{n=1}^{10} xy-\sum_{n=1}^{10} x\sum_{n=1}^{10} y}{n\sum_{n=1}^{10} x^2-(\sum_{n=1}^{10} x)^2}=\frac{10*150,34-38,5*36,2}{10*(38,5)^2-38,5^2}=0,0082}\)

i nie wykorzystałam V(X) <??>

[Jacek_Karwatka]

a skąd masz sumę kwadratów x
\(\displaystyle{ n\sum_{n=1}^{10} x^2 \neq n\left(\sum_{n=1}^{10}x \right) ^{2}}\)

ale mamy

\(\displaystyle{ V(x)= \frac{ \sum x ^{2} - \frac{ \left( \sum x \right) ^{2} }{n} }{n-1}}\)

stąd:

\(\displaystyle{ n\sum x ^{2}-\left( \sum x\right) ^{2} = n(n-1)V(x)}\)