funkcje gęstości prawdopodobieństwa a prawdopopodobieństwo

[wojtasn]

Dane są dwa jednostajne rozkłady prawdopodobieństwa niezależnych zmiennych X i Y. Rozkłady mają odpowiednio funkcje:
\(\displaystyle{ p_{x}\left(x\right)= 1/2}\), gdy \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\)
\(\displaystyle{ p_{y}\left(y\right)= 1/3}\), gdy \(\displaystyle{ y \in [0, 3]}\)
Niech \(\displaystyle{ Z = X+Y}\). Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ Pr\left\{ 0 \le z \le 2 \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Pr\left\{ 1 \le z \le 4 \right\}}\).
Mam problem jak obliczyć zadane prawdopodobieństwa. Proszę o pomoc.

[Arst]

Zacznij od znalezienia rozkładu nowej zmiennej.

[wojtasn]

Zdaje sobie sprawe z takiej możliwości rozwiązania tego zadania. Jednak szukam metody bez wyznaczania rozkładu sumy. Czy jest to wogóle możliwe?

[Spektralny]

Tak, jest proste twierdzenie, które mówi, że gęstość \(\displaystyle{ f_{X+Y}}\) sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\), które mają gęstości \(\displaystyle{ f_X, f_Y}\) odpowiednio, jest splotem tych gęstości \(\displaystyle{ f_{X+Y}=f_X*f_Y}\), tj.

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(t-x)dx}\)

[Arst]

Tak, jest proste twierdzenie, które mówi, że gęstość \(\displaystyle{ f_{X+Y}}\) sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\), które mają gęstości \(\displaystyle{ f_X, f_Y}\) odpowiednio, jest splotem tych gęstości \(\displaystyle{ f_{X+Y}=f_X*f_Y}\), tj.

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(t-x)dx}\)

O ile zmienne te są niezależne.

[wojtasn]

Splot jest wyznaczeniem rozkładu zmiennej Z = X + Y. Jak widzę wyznaczenie rozkładu zmiennej Z jest konieczne, by wyliczyć zadane prawdopodobieństwo.