witam.
zadanie rozdłubałam do pewnego momentu. w tym, co dalej, proszę o pomoc sprytniejszych
a zadanie jest następujące:
\(\displaystyle{ X, Y}\) są iid o rozkładzie \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi (x,y) = ( \max \{x,y\} - \min\{x,y\}, \min\{x,y\})}\), \(\displaystyle{ x,y>0}\).
Należy znaleźć rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (U,V)=\phi (X,Y)}\).
zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ U = |X-Y| \\
V = \min\{X,Y\}}\)
czyli :
1. dla x>y:
\(\displaystyle{ U=X-Y\\
\hspace{12in} V=Y}\)
2. a dla x<y:
\(\displaystyle{ U=Y-X\\
V=X}\)
z tego wywnioskowałam, że:
\(\displaystyle{ f_{U,V} (u,v) = |J_1| f_{X,Y}\big(\phi^{-1}(u,v) \big) \mathbb{I}_{x>y} + |J_2| f_{X,Y}\big(\phi^{-1}(u,v) \big)\mathbb{I}_{x<y}}\)
gdzie jakobiany dla obu przypadków: \(\displaystyle{ |J_1|=|J_2|=1.}\)
No i nie wiem, jak poradzić sobie z indykatorami: wiadomo, że gęstość rozkładu wykładniczego zaczyna się w zerze i kończy hen w \(\displaystyle{ +\infty}\). A tu dochodzą jeszcze te dwie upierdliwości: raz \(\displaystyle{ x<y}\) a raz \(\displaystyle{ y<x}\).
A może jakieś błędy po drodze?
Nie wiem i proszę o pomoc
rozkład wektora losowego, dyfeomorfizm i co dalej?
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
rozkład wektora losowego, dyfeomorfizm i co dalej?
Zrobiłem trochę po swojemu, ale w gruncie rzeczy chyba to samo.
\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( (U,V) \in (A\times B) \right)=\mathbb{P} \left( \phi (X,Y) \in (A \times B) \right)= \mathbb{P} \left( \left( \phi(X,Y) \in (A \times B) \right) \cap \left\{ X>Y\right\} \right) + \mathbb{P} \left( \left( \phi(X,Y) \in (A \times B)\right) \cap \left\{ X<Y \right\} \right)=}\)\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( \left( (X,Y) \in \phi^{-1} (A \times B) \right) \cap \left\{ X>Y \right\} \right) + \mathbb{P} \left( \left( (X,Y) \in \phi ^{-1} (A \times B) \right) \cap \left\{ X<Y\right\} \right)=}\)\(\displaystyle{ \int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{X>Y}d\mu _{(X,Y)}+\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{X<Y}d\mu _{(X,Y)}=(1)=\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{x>y}g_{X}(x)g_{Y}(y)dxdy+\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{x<y}g_{X}(x)g_{Y}(y)dxdy=(2)=
\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{u+v>v}g_{X}(u+v)g_{Y}(v)dudv+\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{v<u+v}g_{X}(v)g_{Y}(u+v)dudv=(3)=2\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{u>0}g_{X}(u+v)g_{Y}(v)dudv=2\int_{(A \times B)} \mathbb{I} _{u>0}\lambda ^{2}exp\left(-\lambda(u+2v)\right)dudv.}\)
(1) \(\displaystyle{ X}\) niezależne od \(\displaystyle{ Y}\), więc gęstości spełniają zależność \(\displaystyle{ g_{(X,Y)}=g_{X}g_{Y}}\).
(2) Zwykła zamiana zmiennych, taka jak u Ciebie. Możemy, bo \(\displaystyle{ u(x,y)}\) i \(\displaystyle{ v(x,y)}\) są dyfeomorfizmami na przedziałach, po których całkujemy.
(3) \(\displaystyle{ g_{X} \equiv g_{Y}.}\)
Z powyższych równości wynika, że
\(\displaystyle{ g_{(U,V)}(u,v) \sim 2\lambda ^{2}exp\left( -\lambda(u+2v)\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ u,~v \geq 0.}\)
Wyprowadzona gęstość całkuje się nawet do jedynki , więc jest szansa, że jest dobrze.
Swoją drogą - skąd wytrzasnęłaś takie zadanko?
\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( (U,V) \in (A\times B) \right)=\mathbb{P} \left( \phi (X,Y) \in (A \times B) \right)= \mathbb{P} \left( \left( \phi(X,Y) \in (A \times B) \right) \cap \left\{ X>Y\right\} \right) + \mathbb{P} \left( \left( \phi(X,Y) \in (A \times B)\right) \cap \left\{ X<Y \right\} \right)=}\)\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left( \left( (X,Y) \in \phi^{-1} (A \times B) \right) \cap \left\{ X>Y \right\} \right) + \mathbb{P} \left( \left( (X,Y) \in \phi ^{-1} (A \times B) \right) \cap \left\{ X<Y\right\} \right)=}\)\(\displaystyle{ \int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{X>Y}d\mu _{(X,Y)}+\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{X<Y}d\mu _{(X,Y)}=(1)=\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{x>y}g_{X}(x)g_{Y}(y)dxdy+\int_{\phi ^{-1}(A \times B)} \mathbb{I}_{x<y}g_{X}(x)g_{Y}(y)dxdy=(2)=
\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{u+v>v}g_{X}(u+v)g_{Y}(v)dudv+\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{v<u+v}g_{X}(v)g_{Y}(u+v)dudv=(3)=2\int_{(A \times B)} \mathbb{I}_{u>0}g_{X}(u+v)g_{Y}(v)dudv=2\int_{(A \times B)} \mathbb{I} _{u>0}\lambda ^{2}exp\left(-\lambda(u+2v)\right)dudv.}\)
(1) \(\displaystyle{ X}\) niezależne od \(\displaystyle{ Y}\), więc gęstości spełniają zależność \(\displaystyle{ g_{(X,Y)}=g_{X}g_{Y}}\).
(2) Zwykła zamiana zmiennych, taka jak u Ciebie. Możemy, bo \(\displaystyle{ u(x,y)}\) i \(\displaystyle{ v(x,y)}\) są dyfeomorfizmami na przedziałach, po których całkujemy.
(3) \(\displaystyle{ g_{X} \equiv g_{Y}.}\)
Z powyższych równości wynika, że
\(\displaystyle{ g_{(U,V)}(u,v) \sim 2\lambda ^{2}exp\left( -\lambda(u+2v)\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ u,~v \geq 0.}\)
Wyprowadzona gęstość całkuje się nawet do jedynki , więc jest szansa, że jest dobrze.
Swoją drogą - skąd wytrzasnęłaś takie zadanko?