losowanie kul, prawd. warunkowe, całkowite, Bayes

[justonequestion]

Ktoś mógłby mi sprawdzić czy dobrze rozwiązałam poniższe zadanie?

Z pudełka zawierającego dwie kule niebieskie i dwie kule białe wyjmujemy losowo dwie kule. Następnie losujemy z pozostałych jedną kulę, która okazuje się niebieska. Policz prawdopodobieństwo, że z pudełka wylosowaliśmy kule w dwóch kolorach.

rozwiązanie:

\(\displaystyle{ A_{1}}\) - wylosowanie dwóch kul białych za pierwszym razem
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - wylosowanie kul dwóch kolorach za pierwszym razem
\(\displaystyle{ N}\) - wylosowanie kuli niebieskiej za drugim razem

\(\displaystyle{ P(A_{1})=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(A_{2})=\frac{1}{2}}\)

prawd. warunkowe ze schematu Bernoulliego
\(\displaystyle{ P(N/A_{1})=\frac{4}{27}}\)

\(\displaystyle{ P(N/A_{2})=\frac{2}{27}}\)


prawd. całkowite
\(\displaystyle{ P(N)=\frac{3}{27}=9}\)

wzór Bayesa
\(\displaystyle{ P(A_{2}/N)=\frac{1}{3}}\)

odp: Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[pyzol]

Tutaj nie używamy schematu Bernoulliego
\(\displaystyle{ P(N/A_1)=1}\) wyciągnęliśmy już dwie białe. Wiadomo, że zostały niebieskie.
\(\displaystyle{ P(N/A_2)=\frac{1}{2}}\) Została nam jedna niebieska i jedna biała.
\(\displaystyle{ P(A_1)=\frac{{2 \choose 2}}{{4 \choose 2}}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(A_2)=\frac{2}{3}}\)

[Kanodelo]

A czy ktoś widzi błąd w takim rozumowaniu:

rysujemy drzewko

Ukryta treść:    

mamy najpierw 4 kule, możemy wylosować albo dwie białe, albo dwie niebieskie, albo jedną taką drugą taką. Potem za drugim razem losujemy niebieską i
- jeżeli wylosowaliśmy wcześniej 2 białe to prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej jest równe \(\displaystyle{ 0}\)
- jeżeli wcześniej 2 niebieskie, to teraz prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej jest równe \(\displaystyle{ 1}\)
- jeżeli wcześniej 1 niebieską 1 białą, to teraz prawd. wylosowania niebieskiej jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Mamy mieć kule różnego koloru, więc sumujemy pierwszy i trzeci przypadek, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot 0+ \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)

[pyzol]

Pomieszałeś coś w tym drzewku.

[Kanodelo]

Chodzi o to że na samym końcu powinno być \(\displaystyle{ 0, \frac{1}{2},\frac{1}{2}}\)zamiast \(\displaystyle{ 0,1,\frac{1}{2}}\) ale to nie ma znaczenia przy wyniku

[pyzol]

No chyba ma, poza tym wiesz co policzysz?

[Kanodelo]

Mamy przecież policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano kule w dwóch kolorach, a w drugim przypadku wylosowaliśmy najpierw dwie niebieskie, a potem znowu niebieską więc tego przypadku nie bierze się pod uwagą

[pyzol]

Sumując policzysz prawdopodobieństwo wypadnięcia niebieskiej tylko jak widać, powinno być:
\(\displaystyle{ 1\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}\)
Druga sprawa, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch różnych, to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). (Patrz post na zielono.)