Wartość oczekiwana rzutu kostką

[Shandy]

Rzucamy symetryczną monetą tak długo aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się "reszki".
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

[lamiee]

Sprzyjające zdarzenia to:
\(\displaystyle{ (RR), (ORR), (OORR), ...
X ~ \left\{ (2, \frac{1}{2}^{2}), (3, \frac{1}{2}^{3}),... \right\}
E(X)=2* \frac{1}{2} ^{2} + 3 * \frac{1}{2} ^{2} + ... = 2 * ( \frac{1}{2} ^{2} + \frac{1}{2} ^{3} + ...) + 1 * (\frac{1}{2} ^{3} + \frac{1}{2} ^{4} + ...) + 1 * (\frac{1}{2} ^{4} + \frac{1}{2} ^{5} + ...) + ... = 2 * \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ^{2} + \frac{1}{2} ^{3} + ... = 1 + \frac{1}{2} = 1,5}\)

[Shandy]

No właśnie chyba nie bardzo, bo np. może być (R,O,R,R) i to też jest zdarzenie sprzyjające. :

Odpowiedz to EX=6 , ale nie mam pojęcia jak to zapisać. Może ktoś jeszcze coś podpowie?

[pyzol]

Te zadanie robi się za pomocą łańcucha markowa, wtedy masz trzy stany, pierwszy w ostatnim rzucie padł orzeł, drugi - padła reszka, ale wcześniej był orzeł - i trzeci padły dwie reszki. Ten ostatni jest stanem pochłaniającym, kończy grę. Macierz przejścia wyglądałaby tak:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c}
&O&OR&RR\\\hline
O&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\
OR&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
RR&0&0&1
\end{array}}\)
Tylko ja nie wiem jak się liczy średni czas przejścia z jednego stanu do drugiego.