Współczynnik korelacji

[lamiee]

\(\displaystyle{ U _{1} i U _{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych \(\displaystyle{ U\left[ 0,1\right]}\). Niech \(\displaystyle{ X=min\left\{ U _{1},U _{2}\right\}, Y=max\left\{U _{1},U _{2}\right\}}\). Oblicz współczynnik korelacji zmiennych X i Y. Czy mógłby mi ktoś pomóc z tym zadaniem, bo nie umiem wyznaczyć rozkładu \(\displaystyle{ U _{1} i U _{2}}\)

[Nakahed90]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ min\{a,b\}\cdot max\{a,b\}=a\cdot b}\)-- 4 września 2012, 13:34 --A co do rozkładów:
\(\displaystyle{ P(max\{U_{1},U_{2}\} \le t)=P(U_{1} \le t,U_{2} \le t)=...}\)

[lamiee]

Jeśli chodzi o rozkłady to wiem, że \(\displaystyle{ F _{X}(t)= P(min\left\{U _{1},U _{2} \right\} \le t)=P( U_{1} \le t \vee U _{2} \le t)= \begin{cases} P(U _{1} \le t, U _{1} \le U _{2} ) \\ P(U _{2} \le t, U _{2} \le U _{1}) \end{cases}=??}\)
i tak jak napisałeś z max, tylko tam koniunkcja zamiast alternatywy:
\(\displaystyle{ F _{Y}(t)= P(max\left\{U _{1},U _{2} \right\} \le t)=P( U_{1} \le t, U_{2} \le t)= \int_{0}^{t}du _{1} \int_{0}^{t}f _{u _{1}u _{2}}du _{2}}\)
nie wiem jak wyznaczyć funkcję masy dla rozkładu Y i czy w ogóle jest dobrze do tego momentu..
a jeśli chodzi o rozkład X to nie wiem jak odpowiednio skorzystać z definicji dystrybuanty? Jak ustalić granice całkowania? I jak będzie z przedziałami?

[Nakahed90]

Skorzystaj teraz z tego, że obie zmienne losowe są niezależne.