dwa rozkłady jednostajne a prawdopodobieństwo sumy

[wojtasn]

Przypuśćmy, że mamy dane dwa rozkłady jednostajne niezależnych zmiennych losowych X i Y. Ich rozkłady gęst. mają odpowiednio funkcje
\(\displaystyle{ f_{x}\left(x\right)= \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\)
\(\displaystyle{ f_{y}\left(y\right)= \frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ y \in [0, 4]}\)
Niech \(\displaystyle{ Z = X+Y}\). Czy jeśli chciałbym policzyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ Pr\{0< z <2\}}\), lub \(\displaystyle{ Pr\{1< z <4\}}\) to muszę najpierw wyznaczyć funkcję gęstości p-stwa dla Z i następnie z niej wyliczyć dane prawdopodobieństwo? Czy może istnieje jakiś szybszy sposób pomijający ten etap?

[miodzio1988]

To są na pewno gęstości? Całkują się do jedynki?

[wojtasn]

Przepraszam, ale sam sobie wymyślam zadania i przy zapisywaniu myśli czasem pajawiają się błędy... Posta poprawiłem. Pytanie pozostaje nadal aktualne.

-- 4 wrz 2012, o 16:42 --

Czy mógłby, ktoś odpowiedzieć na pytanie z pierwszego posta? Mianowcie, jak wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ Pr\{0< z <2\}}\), lub \(\displaystyle{ Pr\{1< z <4\}}\), gdzie \(\displaystyle{ Z= X+Y}\). X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rokładach jednostajnych (przedziały zdefiniowane w pierwszym poście). Czy możliwe jest wyznaczenie tego prawdopodobieństwa, bez wyznaczania rozkładu dla zmiennej Z?

[norwimaj]

Można skorzystać ze znanego ze szkoły wzoru na pole trójkąta.

[wojtasn]

A jak wykorzystać wzór na pole trójkąta do tego celu?

[norwimaj]

Jeśli to trójkąt prostokątny, to jedna przyprostokątna razy druga przez \(\displaystyle{ 2}\). Zrób sobie ładny rysunek i wszystko będziesz widział.

[wojtasn]

Niestety, nadal nie wiem jak to zrobić. Jak miałby wyglądać rysunek? Czy jest to układ o osiach odpowiednio x i y, na których są naniesione przedziały tych zmiennych?

[wdsk90]

Czy jest to układ o osiach odpowiednio x i y, na których są naniesione przedziały tych zmiennych?

Tak, narysuj sobie np. \(\displaystyle{ 0<X+Y<2}\) w układzie współrzędnych.

[wojtasn]

Porysowałem i doszedłem do kilku wniosków, ale i pojawiły się pytania.

Aby obliczyć zadane prawdopodobieństwa rysują trójwymiarowy układ współrzędnych o osiach odpowiednio x, y i p(x,y). Rysuje odpowiednie "ograniczenia". Objętość danego kawałka równa jest zadanemu prawdopodobieństwu.

Czy taki sposób można zastosować tylko do zmiennych o rozkładach równomiernych?

[norwimaj]

Nie rysuj trójwymiarowego układu. Tutaj jest rozkład jednostajny, więc nie trzeba trzech wymiarów.

Narysuj na płaszczyźnie zbiór \(\displaystyle{ \Omega=[-1, 1]\times[0, 4]}\). To jest Twoja przestrzeń probabilistyczna. Następnie zaznacz w nim podzbiór \(\displaystyle{ \{(x,y)\in\Omega:0<x+y<2\}}\).