wykazać, że zmienna losowa U ma rozkład jednostajny

[annaaanna]

Wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ U= \frac{X}{X+Y}}\) ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1], gdy X i Y są
niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym.

[norwimaj]

Dystrybuantę policz.

[annaaanna]

\(\displaystyle{ F_{U}(t)=P(U \le t)=P( \frac{X}{X+Y} \le t)= \iint _{ {(x,y): \frac{x}{x+y} \le t } } f_{X}(x)f_{Y}(y) dxdy = ...}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{x+y}=u\\y=v\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{vu}{1-u}\\y=v\end{cases} \Rightarrow J=\frac{v}{(1-u) ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{t} ( \int_{- \infty }^{ \infty } f_{X}(\frac{vu}{1-u})f_{Y}(v)dv)du}\)


Czy ten tok rozumowania jest dobry???

[norwimaj]

Ja bym bez podstawień robił.

\(\displaystyle{ \int_0^{\infty}\int_{\frac{1-t}tx}^{\infty}f_{X}(x)f_{Y}(y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x.}\)