Wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ U= \frac{X}{X+Y}}\) ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1], gdy X i Y są
niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym.
wykazać, że zmienna losowa U ma rozkład jednostajny
wykazać, że zmienna losowa U ma rozkład jednostajny
\(\displaystyle{ F_{U}(t)=P(U \le t)=P( \frac{X}{X+Y} \le t)= \iint _{ {(x,y): \frac{x}{x+y} \le t } } f_{X}(x)f_{Y}(y) dxdy = ...}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{x+y}=u\\y=v\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{vu}{1-u}\\y=v\end{cases} \Rightarrow J=\frac{v}{(1-u) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{t} ( \int_{- \infty }^{ \infty } f_{X}(\frac{vu}{1-u})f_{Y}(v)dv)du}\)
Czy ten tok rozumowania jest dobry???
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{x+y}=u\\y=v\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{vu}{1-u}\\y=v\end{cases} \Rightarrow J=\frac{v}{(1-u) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{t} ( \int_{- \infty }^{ \infty } f_{X}(\frac{vu}{1-u})f_{Y}(v)dv)du}\)
Czy ten tok rozumowania jest dobry???
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wykazać, że zmienna losowa U ma rozkład jednostajny
Ja bym bez podstawień robił.
\(\displaystyle{ \int_0^{\infty}\int_{\frac{1-t}tx}^{\infty}f_{X}(x)f_{Y}(y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x.}\)
\(\displaystyle{ \int_0^{\infty}\int_{\frac{1-t}tx}^{\infty}f_{X}(x)f_{Y}(y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x.}\)