Rozkład i wartość średnia dwuwymiarowego rozkładu normalnego

[errryk]

Zmienna losowa ma rozkład z gęstością g(x,y) = \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}e^{-2x^2-2xy-y^2}}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej 2X+Y+5. Obliczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}(2X+Y+5)^7sin(Y)}\)

[Arst]

Raczej \(\displaystyle{ g(x,y)=\frac{1}{2\pi} e^{-2x^2-2xy-y^2}=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(4x^2+4xy+2y^2)}}\).

\(\displaystyle{ F(t)=\PP(2X+Y+5<t)=\iint \limits_{\{2x+y+5<t\}} g(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)