Wyznaczyć funkcję charakterystyczną

[silvaran]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład \(\displaystyle{ b(n,p)}\) a zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ P(X_i=1)=r=1-P(X_i=0)}\). Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej:
\(\displaystyle{ Z= \sum_{i=1}^{N}X_i}\)
to będzie tak?
\(\displaystyle{ Ee^{itZ}=E\left( \prod_{i=1}^{N} e^{itX_i}\right)=EN\cdot Ee^{itX_1}=np(re^{it}+1-r)}\)

pytanie: czy mogę w tym przypadku skorzystać z tożsamości Walda i czy dalej jest dobrze policzone?

[Wasilewski]

We wzorze Walda mamy sumę losowej długości, a tutaj iloczyn, więc sytuacja jest trochę inna. Ja bym zrobił tak:
\(\displaystyle{ \mathbb{E} e^{itZ} = \mathbb{E} (\mathbb{E}(e^{itZ}|N)) = \mathbb{E} (re^{it} + 1-r)^{N} = \\ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k} (re^{it} + 1-r)^{k} = (pre^{it} -pr + 1)^{n}}\)

[silvaran]

Powiedzmy, że wierzę Ci do ostatniej równości. A teraz wytłumacz się jak to wszystko sumowałeś, bo ja tego nie widzę

[Wasilewski]

To jest akurat najprostsze, po prostu łączę wyrazy \(\displaystyle{ p^{k}}\) i \(\displaystyle{ (re^{it}+1-r)^{k}}\) w jeden \(\displaystyle{ (pre^{it} + p - pr)^{k}}\) i wykorzystuję wzór Newtona.