gęstość prawdopodobieństwa sumy zmiennych niezależnych

[wojtasn]

Przypuśćmy, że mamy dwie zmienne niezależne X i Y o rozkładach jednostajnych na przedziale [0, 1]. Jaka byłaby funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla Z = X+Y?
ROZWIĄZANIE
\(\displaystyle{ f_{z}\left(z\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } f_{x}\left(x\right)f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ f_{x}\left(x\right)= 1}\) dla x[0,1] to:
\(\displaystyle{ f_{z}\left(z\right) = \int_{0}^{1} 1 f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x}\)
dla z[0, 1] mamy
\(\displaystyle{ f_{z}\left(z\right)= \int_{0}^{1} 1 f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x = \int_{0}^{z} 1 \cdot 1 \mbox{d}x = x\right]^{z}_{0} = z}\)
dla z[1, 2] mamy
\(\displaystyle{ f_{z}\left(z\right)= \int_{0}^{1} 1 f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 1 \mbox{d}x = x\right]^{1}_{z-1} = 2 - z}\)
PROBLEM
Nie wiem skąd się wzieły te dwa przdziały całkowania [0, z] i [z-1, 1]?

Z góry dziękuję,
Wojtek

[Arst]

Chyba chodziło Ci o rozkłady jednostajne na \(\displaystyle{ [0,1]}\), wtedy \(\displaystyle{ f_X(x)=1 \cdot \textbf{1}_{[0,1]}(x)}\), a gęstość sumy zmiennych niezależnych jest, tak jak piszesz, splotem gęstości:
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(u)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (u-z) f_Y(z) \mbox{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty}\textbf{1}_{[0,1]}(u-z)\textbf{1}_{[0,1]}(z)\mbox{d}z=...}\)

[wojtasn]

Oczywiście chodziło o rozkłady jednostajne. Twój zapis wygląd na alternatywny sposób do zaprezentowanego przeze mnie. Jednak nie wyjaśnia on mojego pytania. Co więcej nie wiem jak dalej postąpić z twoim równaniem.

[Arst]

Pierwszy indykator mówi, że \(\displaystyle{ 0 \le u-z \le 1}\), a stąd \(\displaystyle{ u-1 \le z \le u}\) natomiast drugi - wiadomo. Ponadto: \(\displaystyle{ \textbf{1}_A(x)\cdot \textbf{1}_B(x)=\textbf{1}_{A \cap B} (x)}\). Skorzystaj z tego.

[wojtasn]

To akurat wiem, choć może nie potrafię wykorzystać tego do wytłumaczenia sobie. Postram się nakreślić problem jeszcze raz.

\(\displaystyle{ f_{z}\left(z\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } f_{x}\left(x\right)f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x = \int_{0}^{1} 1 f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x = \begin{cases} \red{\int_{0}^{z}} 1 \cdot 1 \mbox{d}x, z \in \left[ 0, 1\right] \\\red{\int_{z-1}^{1}} 1 \cdot 1 \mbox{d}x, z \in \left[ 1, 2\right] \end{cases}}\)

Nie wiem jak matematycznie wytłumaczyć sobie powstawanie tych dwóch przedziałów całkowania (abstrahując od rysunków). Skąd wiemy, że pierwszy przedział to [0, z], a drugi to [z-1, 1]? Czy może należy to uzasadnić wykorzystując w jakiś sposób \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} 1 f_{y}\left(z-x\right) \mbox{d}x=1}\) dla (z-x) należących do przedziału [0, 1]?

Geometrycznie wiem, iż część wspólna obu indykatorów najpierw liniowo rośnie, a potem liniowo maleje, a poza przdziałem [0, 2] ma wartość równą 0 (co jest istotą operacji splotu).

Arst, czy mógłbym Cię prosić o doprowadzenie twojego rozumowania do końca. Być może, wtedy stanie się to dla mnie jasne.

[Arst]

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(u)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (u-z) f_Y(z) \mbox{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty}\textbf{1}_{[0,1]}(u-z)\textbf{1}_{[0,1]}(z)\mbox{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty} \textbf{1}_{[0,1] \cap [u-1,u]}(z) \mbox{d}z}\)

Teraz trzeba się zastanowić jakie mogą być przypadki. Polecałbym Ci narysować sobie oś, zaznaczyć odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\) i względem tego odcinka zaznaczyć odcinek \(\displaystyle{ [u-1,u]}\).

Dla \(\displaystyle{ u < 0 \wedge u>2}\) odcinek \(\displaystyle{ [u-1,u]}\) nie ma punktów wspólnych z \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc tam całka jest równa 0.
Dla \(\displaystyle{ u-1 \le 0 \le u}\) częścią wspólną jest odcinek \(\displaystyle{ [0,u]}\), więc całka przyjmuje postać: \(\displaystyle{ \int_{0}^{u} \mbox{d}z =u}\)
Dla \(\displaystyle{ [u-1,u] \subset [0,1]}\) mamy całkę: \(\displaystyle{ \int_{u-1}^{u} \mbox{d}z=1}\)
Dla \(\displaystyle{ u-1 \le 1 \le u}\) całka jest następująca: \(\displaystyle{ \int_{u-1}^{1} \mbox{d}z=2-u}\).

Składając to do kupy otrzymasz:

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(u)= \begin{cases} 0, \quad u < 0 \wedge u>2 \\ u, \quad 0 \le u \le 1 \\ 2-u, \quad 1<u \le 2 \end{cases}}\)

[wojtasn]

Dziękuje za rozwiązane. Jednak jest to rozwiązanie o którym wspominałem we wcześniejszym poście (nazywając je geometrycznym). Rozwiązać je możemy jedynie bądź to przez wyobrażenie sobie, bądź narysowanie przesuwających prostokątów, czy jak w twoim przypadku ich rzutu na jedną oś. Szukałem innego rozwiązanie bardziej "matematycznego", lecz najwidoczniej takiego nie ma. W każdym razie dziękuję Ci za poświęcony czas.

Czekam na propozycje innych forumowiczów wyjaśnienia skąd biorą się owe granice przy całkach zaznaczonych kolorem czerwonym.

[norwimaj]

Funkcja podcałkowa jest równa \(\displaystyle{ 1}\), jeśli \(\displaystyle{ \begin{cases}0\le x\le 1\\0\le z-x\le 1\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym wypadku. Zatem jest równa \(\displaystyle{ 1}\) dla tych \(\displaystyle{ x}\), dla których

\(\displaystyle{ \max(0,z-1)\le x\le\min(1,z)}\).

Czyli granice całkowania, to \(\displaystyle{ \max(0,z-1)}\) i \(\displaystyle{ \min(1,z)}\), co można dalej rozpisać na przypadki w zależności od \(\displaystyle{ z}\).

[wojtasn]

Dziękuję o coś takiego mi chodziło. Ponieważ jestem dociekliwy zadam Tobie jeszcze jedo pytanie. Mianowcie jakie jest "matematyczne" uzasadnienie, że akurat max(...) jest przy dolnej granicy, a min(...) przy górnej?

[norwimaj]

Nierówności \(\displaystyle{ a\le x}\) i \(\displaystyle{ b\le x}\) są jednocześnie spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \max(a,b)\le x}\).