Cześć,
Za dwa dni mam kolosa poprawkowego i zadanie, którego nie umiem ruszyć:
Na przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega=[0,3]}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P_{(d\omega)}=\frac{1}{3}d\omega}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem zbiorów borelowskich określamy zmienną losową:
\(\displaystyle{ X(\omega) = \begin{cases} \omega\ \qquad dla \quad 0 \le \omega <1 \\ \left1 \qquad dla \quad 1 \le \omega < 2 \\ (3-\omega) \qquad dla \quad 2 \le \omega \le 3\end{cases}}\)
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.
Mój problem polega na tym, że nie wiem jak zacząć, bo nie bardzo wiem co zrobić z podanym prawdopodobieństwem oraz przestrzenią \(\displaystyle{ \Omega}\). Będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie.
wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej
-
szw1710
wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej
Twoje prawdopodobieństwo to po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) miary Lebesgue'a. Miara całego przedziału to \(\displaystyle{ 3,}\) a więc po takim unormowaniu stanie się probabilistyczna. Dalej postępujesz normalnie jak przy wyznaczaniu dystrybuanty. Np. jeśli \(\displaystyle{ 0\le x\le 1,}\) to \(\displaystyle{ F(x)=P(X<x).}\) Co to znaczy? Mniej więcej tyle, że \(\displaystyle{ X(\omega)<x\iff \omega<x}\) bo mamy tylko jedną możliwość (pierwszy wzór), zważywszy, że \(\displaystyle{ x\le 1.}\) A zatem \(\displaystyle{ P(X<x)=P(0\le\omega<x)=P([0,x))=\frac{1}{3}x.}\) Sama rozważ dalsze przypadki.