Wypłata w grze losowej

[jellyelli]

Wypłata w grze losowej jest obliczana jako \(\displaystyle{ X = max \lbrace U-2,0 \rbrace}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0,4)}\). Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X.

Wyznaczyłam funkcję gęstości.
Gdy \(\displaystyle{ U \ge 2}\), to \(\displaystyle{ X=U}\) i gdy \(\displaystyle{ U<2}\), to \(\displaystyle{ X=0}\).

Moja dystrybuanta:

\(\displaystyle{ F(x) = egin{cases} 0 Leftrightarrow x<2 \ frac{1}{2} cdot x^{2} -2 Leftrightarrow x in [2, sqrt{6}) \ 1 Leftrightarrow x ge sqrt{6}end{cases}}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie?

[tometomek91]

Hmm, mi wyszła taka:
\(\displaystyle{ F_X(t)=\begin{cases} 0\ \ \ \text{dla}\ t \le -2 \\ \frac{1}{8}t+\frac{1}{4}\ \text{dla}\ -2<t \le 0\\ \frac{1}{8}t+\frac{3}{4}\ \text{dla}\ 0<t <2 \\ 1\ \ \ \text{dla}\ t \ge 2 \end{cases}}\)
Jak liczyłaś?
Zauważ jeszcze, że \(\displaystyle{ U}\) przujmuje wartości mniejsze od \(\displaystyle{ 4}\), czyli \(\displaystyle{ U-2}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\), zatem \(\displaystyle{ P(X<2)}\) powinno być \(\displaystyle{ 1}\).. więc Twoje rozwiązanie jest błędne.

[norwimaj]

Wyznaczyłam funkcję gęstości.

To bardzo ładnie z Twojej strony, tylko że zmienna \(\displaystyle{ X}\) nie ma gęstości.

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}t+\frac{1}{4}\ \text{dla}\ -2<t \le 0}\)

Skoro \(\displaystyle{ X=\max\{\text{coś},0\}}\), to \(\displaystyle{ X\ge0}\).

[tometomek91]

A no tak. Przedstawię w takim razie obliczenia:
dla \(\displaystyle{ t<0}\) jest \(\displaystyle{ P(X<t)=0}\) (już wiadomo czemu )
dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy
\(\displaystyle{ P(X<t)= P(max(U-2,0)<t)=P(U-2<t,0<t)=P(U<t+2)=\begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t<-2\\ \frac{1}{4}t+\frac{1}{2}\ \ \text{dla}\ -2 \le t \le 2\\ 1\ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ t>2 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ F_X(t)=\begin{cases} 0\ \ \ \ \ \text{dla}\ t<0\\ \frac{1}{4}t+\frac{1}{2}\ \ \text{dla}\ 0 \le t<2\\ 1\ \ \ \ \ \text{dla}\ t \ge 2 \end{cases}}\).