Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie.

[ext]

Oto moje zadanie.
Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie.

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 dla x \le 0 \\ \left( x-1\2) dla 1 \le x \le 3 \\ 0 dla x > 3 \end{cases}}\)

Wyznaczyć odchylenie standardowe i odchylenie przeciętne od wartości średniej tej zmiennej losowej.

Zatem zaczynam od wyliczenia gęstości. Korzystam z \(\displaystyle{ f(x) = F'(x)}\).
Pochodna z \(\displaystyle{ \frac{\left( x-1\right)}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Zatem gęstość wygląda następująco:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} dla 1 \le x \le 3 \\ 0 dla pozostalych \end{cases}}\).
Liczę najpierw wartość przeciętną:
\(\displaystyle{ EX = \int_{1}^{3} \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x = \frac{1}{2} * \left[ \frac{x ^{2} }{2} \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = 2}\)
Potem liczę wariancję:
...
I tutaj mam skorzystać dokładnie z definicji ?

[miodzio1988]

Nie. Ze wzoru z drugim momentem

[ext]

Tj. z \(\displaystyle{ \alpha_{2} = \int_{1}^{3} \left( x - EX\right)^{2}f(x)dx}\) ?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ VarX=EX ^{2}-(EX) ^{2}}\)

[ext]

Czyli \(\displaystyle{ VarX = 0,5 - (2) ^{2 } = -3,5}\) ?

[miodzio1988]

Wariancja może być ujemna?

[ext]

Faktycznie nie może. Zatem co robię źle? Źle policzyłem wartość przeciętną?
A może to powinno być tak?
\(\displaystyle{ VarX = EX ^{2} - \left( EX \right) ^{2} = 4 \frac{1}{3} - 4 = \frac{1}{3} ?}\)

[lukasz1804]

Teraz masz rację. Mamy przecież
\(\displaystyle{ EX^2=\int_{\mathbb{R}}x^2f(x)dx}\).

[ext]

Dzięki. Ale w książce mam odpowiedz że odchylenie standardowe wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \sqrt{3} .}\)
Wzór to:\(\displaystyle{ DX = \sqrt{D ^{2} X} .}\)
Jednakże moim rozumowaniem to to samo co \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{3} }}\) ?
Bo \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \sqrt{3} = \sqrt{ \frac{1}{9} \cdot 3 } = \sqrt{ \frac{3}{9} } = \sqrt{ \frac{1}{3} }}\)