Zadania z probalistyki

[misiuplus]

Witam, czy pomógłby mi ktoś przy rozwiązaniu tych zadań oraz mi je wytłumaczył?

1. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:


\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}0,\ \ \ x\le-1 \\ \frac{1}{4}, \ \ \ x \in (-1,2]\\ \frac{2}{3}, \ \ \ x \in (2.6]
\\ 1, \ \ \ x>6 \end{cases}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ (A)\ \ \ \ P\{X=6\} = \frac {2}{3}}\)
\(\displaystyle{ (B)\ \ \ \ P\{X=2\} = \frac {3}{4}}\)
\(\displaystyle{ (C)\ \ \ \ P\{X\in[0,5]\} = 1}\)



2. Zmienna losowa X ma rozkład zadany gęstością

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 \ \ \ \text{dla} \ x \in [2,3] \\ 0\ \ \ \text{dla} \ x \not\in [2,3]\end{cases}}\)

Wówczas:


\(\displaystyle{ (A)\qquad E(X)=\frac{5}{2} \\}\)
\(\displaystyle{ (B)\text{Dystrybuanta ma postać:} \ F(x)=\begin{cases}0\ \ \ \text{dla}\ x\le 2 \\ x-2 \ \ \ \text{dla}\ x \in (2,3] \\ 1 \ \ \ \text{dla} \ x>3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (C)\qquad VarX = 1}\)



3. Gęstość zmiennej losowej X dana jest wzorem:


\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac {1}{8}x,\ \ \ x \in [0,4] \\ 0,\ \ \ x \not\in [0,4] \end{cases}}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ (A)\qquad E(X)=\frac{8}{3} \\}\)

\(\displaystyle{ (B)\qquad EX^{2}=8 \\}\)

\(\displaystyle{ (C)\qquad VarX= \\}\)


4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny standardowy


\(\displaystyle{ (A)\ \ \ \ P(X<2) > \ 0,95}\)
\(\displaystyle{ (B)\ \ \ \ P(X<-1) > \ 0,5}\)
\(\displaystyle{ (C)\ \ \ \ P(1,5<X<3) > \ 0,06}\)


5. Zmienna losowa X przyjmuje wartości -2,0,2 z prawdopodobieństwem odpowiednio \(\displaystyle{ \frac {1}{8} , \frac {5}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Wówczas



\(\displaystyle{ (A)\qquad E(X)=\frac{1}{4} \\}\)
\(\displaystyle{ (B)\qquad EX^{2}=\frac{1}{4} \\}\)
\(\displaystyle{ (C)\qquad VarX= 0\\}\)


Moje odpowiedzi:

1.
A - TAK
B - TAK
C - NIE

2.
A - TAK
B - TAK
C - NIE

3.
A - NIE
B - TAK
C -

4.
A - NIE
B - TAK
C - NIE

5.
A - TAK
B - NIE
C - NIE

[norwimaj]

1. Domyślam się że miały być prawdopodobieństwa zdarzeń a nie same zdarzenia po lewej stronie równości. Rozwiązałeś źle, bo \(\displaystyle{ P(X=6)}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ P(X\le 6)}\).-- 28 sie 2012, o 20:10 --2. Ok.

3. W treści chyba \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)? Dlaczego nie A?

[misiuplus]

Poprawiłem już błędy.

A mógłbyś wytłumaczyć mi co jest źle i czemu ? Nie bardzo to rozumiem.
Tak w 3 miało być x.-- 29 sie 2012, o 20:01 --Poradziłem sobie chyba z 1 zadaniem.
Wyniki wyszły mi takie:
\(\displaystyle{ \text{A} \ \frac {1}{3}}\)

\(\displaystyle{ \text{B}\ \frac {5}{12}}\)

\(\displaystyle{ \text{C}\ \frac {5}{4}}\)

Dobre ?

[norwimaj]

Poradziłem sobie chyba z 1 zadaniem.

Teraz dopiero zauważyłem, że coś jest nie tak z tym zadaniem. Dystrybuanta powinna być prawostronnie ciągła a nie jest. Czy tutaj przyjmujemy inną definicję dystrybuanty, że \(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)}\)?

[misiuplus]

Sprawdziłem i zadanie jest dobrze przepisane, a to obliczyłem tak samo jak jest tutaj:


303319.htm

[norwimaj]

Odpowiesz na pytanie?

Czy tutaj przyjmujemy inną definicję dystrybuanty, że \(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)}\)?

[misiuplus]

Do którego zadania nawiązujesz?
Teorii praktycznie nie umiem

[pyzol]

Wciąż do pierwszego, jeśli mamy dystrybuantę, to ciągłość powinna być w zadaniu z drugiej strony:
\(\displaystyle{ F(x)=egin{cases}0, x<-1 \ frac{1}{4}, x in [-1,2)\ frac{2}{3}, x in [2,6)
\ 1, x ge 6 end{cases}}\)

[misiuplus]

Znaczy co robie źle?

Te odpowiedzi są złe?

\(\displaystyle{ \text{A} \ \frac {1}{3}\\
\text{B}\ \frac {5}{12}\\
\text{C}\ \frac {5}{4}}\)-- 2 wrz 2012, o 14:21 --

1. Domyślam się że miały być prawdopodobieństwa zdarzeń a nie same zdarzenia po lewej stronie równości. Rozwiązałeś źle, bo \(\displaystyle{ P(X=6)}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ P(X\le 6)}\).

-- 28 sie 2012, o 20:10 --

2. Ok.

3. W treści chyba \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)? Dlaczego nie A?

W 3 liczyłem ze wzoru:

\(\displaystyle{ \text{EX} = \frac {a+b}{2}}\)

i wychodzi \(\displaystyle{ \frac {2}{4}}\) w A

[pyzol]

Ten wzór tyczy się chyba rozkładu jednostajnego, tutaj takiego nie masz. Policz normalnie całkę:
\(\displaystyle{ \int_0^4 xf(x)\mbox{d}x=\int_0^4 \frac{1}{8}x^2 \mbox{d}x}\)