Prawdopodobieństwo nie wyrzucenia ani razu ścianki

[nikt_19]

Rzucamy 12 razy kostką do gry. Jaka jest szansa, że co najmniej jedna ze ścianek nie wypadnie ani razu?

Czy ma ktoś jakiś pomysł jak to rozwiązać?

[kamil13151]

Metoda mnożenia. Na początek, jaka będzie moc omegi?

[nikt_19]

Czy takie rozumowanie ze schematem Bernoullego, że najpierw wybieramy jedną ściankę która nie wypadnie i ze schematu Bernoullego obliczamy prawdopodobieństwo dla 12 rzutów i 0 sukcesów, i tak kolejno postępujemy z 2,3 aż do 5 ścianek bo wiadomo, że przynajmniej jedna musi wypaść.


Zapis wyglądałby wtedy tak:

\(\displaystyle{ {6 \choose 1} \cdot {12 \choose 0} \cdot ( \frac{1}{6})^{0} \cdot ( \frac{5}{6}) ^{12} + {6 \choose 2} \cdot {12 \choose 0} \cdot ( \frac{2}{6}) ^{0} \cdot ( \frac{4}{6}) ^{12}+ ....}\)

I tak dalej...
Bardzo proszę o stwierdzenie czy to jest dobre rozwiązanie bo nie jestem pewna...

[kamil13151]

Nie jest to dobre rozumowanie, ponieważ zostaną zdublowane możliwe wyniki. Korzystamy z tego schematu, sukces - mamy do dyspozycji pięć liczb \(\displaystyle{ \left\{1,2,3,4,5 \right\}}\), wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\), zatem \(\displaystyle{ P_{12} \left( 12\right) = {12 \choose 12} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{12} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{0}= \left( \frac{5}{6} \right)^{12}}\). W obliczonym p-stwie mamy też możliwe wyniki samych jedynek, a Ty właśnie chciałeś takie przypadki rozpatrywać oddzielnie. Żeby dokończyć zadanie zastanów się ile jest możliwych zbiorów pięciu liczb z sześciu, tak jak napisałem w pierwszym poście, metoda mnożenia jest tutaj kluczem do rozwiązania.

[norwimaj]

Jaka jest szansa, że co najmniej jedna ze ścianek nie wypadnie ani razu?

Takie sformułowanie od razu sugeruje użycie wzoru włączeń i wyłączeń.