Liczenie prawdopodobieństwa na podstawie dystrybuanty

[jellyelli]

Mam dystrybuantę
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \Leftrightarrow x<0 \\ 1-\exp(-2x) \Leftrightarrow x \ge 0 \end{cases}}\)

Muszę wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) takie, że \(\displaystyle{ P(X>t)=2P(X<t)}\), \(\displaystyle{ P(X>s) = P(X<s)}\).

Moja intuicja podpowiada mi, że powinnam policzyć granice lewostronne i prawostronne w punkcie \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) uwzględniając powyższe własności. Czy mój sposób rozumowania jest poprawny? Jak policzyć te granice (szczególnie pierwszy przypadek)? Czy w tym drugim \(\displaystyle{ s=0}\)?

[norwimaj]

Mam dystrybuantę
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \Leftrightarrow x>0 \\ 1-\exp(-2x) \Leftrightarrow x \ge 0 \end{cases}}\)

W pierwszej linijce chyba \(\displaystyle{ x<0}\).

\(\displaystyle{ P(X>t)=2P(X<t)}\) \(\displaystyle{ P(X>s) = P(X<s)}\).

Tu by się przydał przecinek. Z ledwością się domyśliłem że tam nie ma mnożenia.

Moja intuicja podpowiada mi, że powinnam policzyć granice lewostronne i prawostronne w punkcie \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) uwzględniając powyższe własności. Czy mój sposób rozumowania jest poprawny?

Nie mam zastrzeżeń.

Jak policzyć te granice (szczególnie pierwszy przypadek)?

W tym przykładzie dystrybuanta jest funkcją ciągłą.

Czy w tym drugim \(\displaystyle{ s=0}\)?

Nie, bo nieprawda że \(\displaystyle{ 1=0}\).

[jellyelli]

Poprawiłam pierwszy post.

Chyba wiem, jak to zrobić.

\(\displaystyle{ P(X>t) = 2P(X<t) \\ 1-P(X \le t) = 2P(X<t) \\ 1 - F(t)=2F(t) \\ t=- \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{2}{3}) \\ \\ s= - \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{2}) \\ \\}\)

Czy to jest dobrze? Nie za bardzo rozumiem, która dystrybuanta jest liczona z prawej strony, a która nie...

[norwimaj]

Tak, jest dobrze.