Wyznaczanie funkcji gęstości nowej zmiennej

[jellyelli]

Mam zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) , która ma rozkład o funkcji gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{3}{2 \pi } \cdot \frac{1}{1+ x^{2} } \Leftrightarrow x \in \left\langle - \sqrt{3}; \sqrt{3} \right\rangle, \\ 0 \Leftrightarrow x \not\in \left\langle - \sqrt{3}; \sqrt{3} \right\rangle \end{cases}}\)

Muszę wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ Y=\arctan(X)}\)
Policzyłam dystrybuantę od funkcji gęstości X.
Później korzystając z własności dystrybuanty wyznaczyłam:
\(\displaystyle{ P[X<\tan(Y)]}\)
Po wstawieniu otrzymałam dystrybuantę:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3 \pi }y+\frac{1}{2}}\) (uwzględniłam też 0 i 1).
Teraz wystarczy tylko zróżniczkować. Niestety nie za bardzo rozumiem, jak wyznaczyć nowe przedziały dla mojej dystrybuanty. Byłabym bardzo wdzięczna, gdyby ktoś mógłby mi rozpisać krok po kroku, ja je wyznaczyć.

[pyzol]

\(\displaystyle{ Y=\arctan X}\) najmniejsza wartość jaką może przyjąć zmienna losowa to:
\(\displaystyle{ \arctan -\sqrt{3}}\)...

\(\displaystyle{ P[X<\tan(Y)]}\)

skąd to wzięłaś?

[jellyelli]

\(\displaystyle{ Y=\arctan(X)}\)
\(\displaystyle{ P(Y<y) \rightarrow P(\arctan(X)<y) \rightarrow P(X<tg(y))}\)

Z pierwotnej funkcji gęstości wyznaczyłam dystrybuantę i wstawiłam \(\displaystyle{ tg(y)}\) zamiast \(\displaystyle{ X}\).


OK, czyli nowy przedział to \(\displaystyle{ \left\langle - \frac{ \pi }{3}; \frac{ \pi }{3} \right\rangle}\)?

Wiem, że to było proste pytanie, ale sprawdzając moje rozwiązania z odpowiedziami często miałam wrażenie, że za bardzo błądzę, więc wolałam się upewnić.

[pyzol]

\(\displaystyle{ F_Y (t)=P(Y \le t)=P(\arctan (X) \le t )=P(X \le \tan (t))=F_X (\tan (t))}\)
tak ładniej moim zdaniem.