Słabe prawo wielkich liczb

[Arst]

Witam,

zadanie jest następujące:

Zbadać, czy dla ciągów niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) o podanych niżej rozkładach zachodzi SPWL:
a) \(\displaystyle{ \PP (X_n=2^n)=\PP(X_n=-2^n)=\frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \PP (X_n=2^n)=\PP(X_n=-2^n)=2^{-2n-1}, \ \PP(X_n=0)=1-2^{-2n}}\)

Mógłby ktoś rozwiązać te dwa zadania? Nie mam żadnego przykładu do tego rozdziału i nie wiem jak to w ogóle ugryźć.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[miodzio1988]

Takiego

zachodzi SPWL

Dobra, co wiesz o SPWL? Jakie tam twierdzenia wujek Jacek Wam dawał?

[Arst]

No cóż, było ich kilka: Markowa, Bernoulliego, Chinczyna, Czebyszewa... A co o nich wiem? Że opisują zbieżność ciągu zmiennych losowych wg. pstwa i że jest to słaba zbieżność, stąd nazwa tych praw.

[miodzio1988]

Jakiś warunek konieczny znasz? Dostateczny? Od koniecznego warto zawsze zacząć.

[Arst]

Niestety nie miałem żadnych warunków, same suche twierdzenia i potem od razu zadania...

PS. nie mam zajęć z wujkiem Jackiem tylko z prof. Misiewicz :S

[miodzio1988]

207098.htm#p766995

z wyszukiwarki korzystałeś? Poszukaj

Tak czy siak warunek konieczny najpierw prosimy

[Arst]

No dobra, załóżmy, że chciałbym sprawdzić czy zachodzi SWPL Markowa, więc muszę zbadać, czy

\(\displaystyle{ \frac{\mathcal{D}^2 \left( \sum_{k=1}^{n} X_k \right)}{n^2} \rightarrow 0}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

tak?

[miodzio1988]

Spoko. Sprawdź ten warunek

-- 21 sierpnia 2012, 14:30 --

Twierdzenie (Klasyczne SPWL Markowa)

Niech \(\displaystyle{ (X_n)}\) będzie ciągiem całkowalnych z kwadratem i nieskorelowanych zmiennych losowych. Jeśli spełniony jest warunek Markowa:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n ^{2} } \sum_{k=1}^{n } Var X_k=0}\)
to \(\displaystyle{ (X_n)}\) spełnia SPWL.

Bo patrzę, że wyszukiwarka daje słabe wyniki

[Arst]

Podałeś przecież warunek równoważny mojemu, bo zmienne są niezależne. Btw. w moim skrypcie to twierdzenie nie ma założenia o nieskorelowaniu zmiennych, a jedynie o skończoności wariancji (czyli właściwie całkowalności z kwadratem). Czy nieskorelowanie jest konieczne? Pytam z ciekawości.

[miodzio1988]

Dziwne, że inne skrypty mamy;] No ja znam to z takiej postaci i z takimi założeniami. Z tego co pamiętam tak. W dowodzie się z tego korzystało. No to ten warunek sprawdzamy.

[Arst]

Prof. Misiewicz ma dość specyficzny sposób prowadzenia zajęć, więc nie zdziwiłbym się, gdyby takie kwiatki się pojawiały...

A wracając do zadania, to stwierdzam, że ten ciąg nie spełnia SPWL Markowa, ponieważ:
\(\displaystyle{ \mathcal{D}^2\left( \sum_{k=1}^{n} X_k \right) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{D}^2 X_k = \sum_{k=1}^{n} \left( \EE X_k^2-(\EE X_k)^2 \right) =\sum_{k=1}^{n}4^k=\frac{3}{4}\left( 4^n-1\right)}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{\mathcal{D}^2 \left( \sum_{k=1}^{n} X_k \right)}{n^2} \not \rightarrow 0}\).

Tak się to robi?

[miodzio1988]

Twierdzenie, które podałem to implikacja tak? No to jeśli poprzednik nie jest prawdziwy to co możemy stwierdzić?

[Arst]

Implikacja jest prawdziwa. Czyli zachodzi SPWL.

[miodzio1988]

Implikacja jest prawdziwa. Czyli zachodzi SPWL.

Na którym roku matmy jesteś? To ja od 10 pije piwo i to ja powinienem takie rzeczy pisać.

[Arst]

Sorry jak to pisałem, to byłem święcie przekonany, że jednak tam zbiegało do 0, fail -.-