Rzut trzema różnokolorowymi kostkami sześciennymi

[Hunter]

Dlatego, że rzut jest bez zwracania?

A gdyby polecenie brzmiało:"Rzucasz 3 razy kostką sześcienną", to by było: \(\displaystyle{ 3^{3}}\), tak?

[wujomaro]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1, 2, 5}\) to jedyne liczby, które pomnożone przez siebie dają \(\displaystyle{ 10}\). Chodzi teraz o to, aby obliczyć ile jest możliwości pomnożenia ich przez siebie (bo mnożenie jest przemienne). Więc chcemy obliczyć liczbę możliwych zdarzeń.
Na pierwszym miejscu możemy podać jedną z \(\displaystyle{ 3}\) liczb, mianowicie: \(\displaystyle{ 1, 2, \ lub \ 5}\).
Na drugim możemy dać już tylko \(\displaystyle{ 2}\) liczby, tylko dwie pozwalają nam uzyskać wynik równy \(\displaystyle{ 10}\). A na trzecim możemy ustawić już tlko jedną liczbę, w zależności od tego, jakie wybraliśmy na 1 i 2 miejscu.

Tak więc otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1=6}\)

Pozdrawiam!

[Hunter]

b) co najmniej raz wypadły 4 oczka.

Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać.

d) suma oczek jest równa 17.
\(\displaystyle{ D=(6,6,5) \\
\left| D\right| =3 \cdot 2\cdot 1 = 6 \\
P(D) = \frac{6}{216}}\)

f) suma oczek jest równa 5.
\(\displaystyle{ F=(1,1,3),(1,2,2) \\
\left| F\right| =3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \\
P(F) = \frac{36}{216}}\)

Dobrze rozumuję? Czy ma być jednak \(\displaystyle{ \left| F\right| =3^{3}\cdot 3^{3}}\) i \(\displaystyle{ \left| D\right| = 3^{3}}\)

Wydaje mi się, że trzeba to zrobić permutacją, bo chodzi o to, na ile sposobów można poukładać te 3 oczka \(\displaystyle{ (6,6,5)}\), prawda?
Jeśli permutacją, to czy to jest:\(\displaystyle{ \left| F\right| =3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\), czy:\(\displaystyle{ \left| F\right| =3\cdot 2\cdot 1+ 3\cdot 2\cdot 1}\)? Wydaje mi się, że chyba ta druga opcja, czyli - \(\displaystyle{ 6+6}\).

[wujomaro]

W podpunkcie d) jest moim zdanie mwszystko ok.
W f) sumujemy, czyli \(\displaystyle{ 3\cdot 2\cdot 1+ 3\cdot 2\cdot 1=6+6=12}\)
Podpunkt d) możesz spróbowac zrobić drzewkami.
Pozdrawiam!

[Hunter]

Mógłby mi ktoś rozwiązać albo przynajmniej podpowiedzieć, jak rozwiązać podpunkt b? Nigdy nie robiłem zadań z "co najmniej" w treści.

[wujomaro]

Można do tego podejść tak.
Zdarzenie jest równe:
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)
Więc:
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{216}{216}- \frac{125}{216} =}\)
Pozdrawiam!

[Hunter]

c) suma wyrzuconych oczek wynosi co najmniej 6.
\(\displaystyle{ C'=\left\{ (2,2,2);(3,1,2);(1,1,4)\right\} \\
\left| C'\right| = 3 \cdot 2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1=18 \\
P(C)=1-P(C')=\frac{216}{216}-\frac{18}{216}}\)

e) co najmniej raz wypadły 2 oczka.
To tak samo, jak w przypadku podpunktu b, prawda?
\(\displaystyle{ P(E)=1- \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{216}{216}- \frac{125}{216} =}\)

[wujomaro]

Co najmniej raz wypadły 2 oczka rozwiązujemy dokładnie tak samo, co: co najmniej raz wypadły 4 oczka. Rozwiązanie jest takie samo.

Podpunkt c)
Gdy mamy 3 takie same liczby: \(\displaystyle{ 2, 2, 2}\), to nie mnożymy \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 1}\), poniważ w pierwszym rzucie może być tylko jedna liczba, w drugim też jedna i w trzecim też jedna.

[Hunter]

Aha, czyli jeśli oczka się powtarzają, to nie mnożymy? Czyli \(\displaystyle{ 2,2,2}\) traktować jako 1? A co gdy są dwie jedynki i jedna inna? \(\displaystyle{ 1,1,4}\)? Normalnie \(\displaystyle{ 3\cdot 2\cdot 1}\), czy może \(\displaystyle{ 2\cdot 1}\)?

W takim razie: \(\displaystyle{ \left| C'\right| =1+3 \cdot 2\cdot 1+ 3\cdot2\cdot1}\)

Edit: ale zaraz przecież \(\displaystyle{ (2,2,2)}\) są różnokolorowe, więc każda dwójka jest inna (ma inny kolor), więc np. czerwona dwójka może być na 1-wszym miejscu, na 2-gim albo na 3-cim, prawda? Więc chyba \(\displaystyle{ 3\cdot2\cdot1}\)

[wujomaro]

Zdaje się, że tak. Choć pewności nie mam.

[Hunter]

Mógłby mi ktoś jeszcze potwierdzić, czy jeśli rzucamy trzema kolorowymi kostkami (nie 3x jedną kostką), to w podpunkcie o treści:"oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadły 4 oczka", będzie tak:
\(\displaystyle{ A' = \left\{ 1, 2, 3, 5, 6\right\} \\
\left| A' \right| = 5^{3} = 125 \\
P(A) = 1 - \frac{216}{216} - \frac{125}{216}}\)
Tak?

Czy może:
\(\displaystyle{ \left| A'\right| = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60}\)
?

Pytam, bo tak było w przypadku innych podpunktów (patrz powyżej).

[wujomaro]

Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadły 4 oczka:
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{125}{216}= \frac{216}{216} - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}}\)
Pozdrawiam!

[norwimaj]

d)

\(\displaystyle{ D=\{(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)\},}\)

albo inaczej (przy nieco innej, ale bardzo podobnej \(\displaystyle{ \Omega}\)),

\(\displaystyle{ D=\{\{{\red6},{\blue6},{\green5}\},\{{\red6},{\green6},{\blue5}\},\{{\blue6},{\green6},{\red5}\}\},}\)

w każdym razie \(\displaystyle{ |D|=3}\).

Punkt c) pozostawiam do przemyślenia.

[Hunter]

Norwimaj, \(\displaystyle{ \left| D\right| = 6}\), ponieważ jest możliwości:
\(\displaystyle{ D=\{(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5),(\red6,\blue6,\green5),(\red6,\green6,\blue5),(\blue6,\green6,\red5)}}\)
Prawda? Sam się zamotlałeś.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ D=\{(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5),(\red6,\blue6,\green5),(\red6,\green6,\blue5),(\blue6,\green6,\red5)}}\)
Prawda? Sam się zamotlałeś.

Zdecydowanie nie ja się tu zamotałem. To nie ja wymieszałem kolorowe cyfry z czarnymi.