Nierówność z wartością oczekiwaną

[Arst]

Jeśli \(\displaystyle{ \EE X \ge 0, \ 0<\EE X^2<\infty, \ \lambda \in [0,1]}\), to

\(\displaystyle{ \PP (X> \lambda \EE X) \ge (1-\lambda)^2 \frac{(\EE X)^2}{\EE X^2}}\)

Może ktoś podrzuci jakąś wskazówkę?

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Wasilewski]

Rozbij średnią na dwie części
\(\displaystyle{ \mathbb{E} X = \mathbb{E} X \mathbbm{1}_{X \leqslant \lambda \mathbb{E} X} + \mathbb{E} X \mathbbm{1}_{X > \lambda \mathbb{E} X}}\)
i pierwszy składnik oszacuj brutalnie, a drugi ze Schwarza.