Plansza z polami - wyznaczyć wartość oczekiwaną.

[tometomek91]

Dana jest plansza z czterema polami o numerach \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\). Pionek startuje z pola numer \(\displaystyle{ 4}\) i przemieszcza się na dowolne inne pole z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) lub z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) zostaje na zajmowanym polu. Taką własność mają też pola \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Pole \(\displaystyle{ 3}\) jest natomiast pochłaniające, tzn. jeśli pionek przemieści się na to pole, to pozostaje na nim z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\). Powiemy wtedy, że pionek utkwił. Ponadto, za każdym razem, kiedy pionek wskoczy na pole \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\), dostaje punkt.

Jaka jest średnia liczba zdobytych punktów, zanim pionek utkwi?

Z góry dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Zanalizuj podobną grę: rzucamy kostką do momentu wypadnięcia szóstki. Zmienną losową jest liczba rzutów. Oblicz jej wartość oczekiwaną. Widzę dużą analogię z Twoim zadaniem, a proponowane przeze mnie jest prostsze.

[pyzol]

Tak w sumie procesy Markowa można tu wyrzuczyć, można też wykluczyć pole \(\displaystyle{ 4}\), to jest tak zwane graj dalej, nie ma one znaczenia. Jak dla mnie mamy rozkład... z \(\displaystyle{ p=\frac{2}{3}}\).

[tometomek91]

Widzę dużą analogię z Twoim zadaniem, a proponowane przeze mnie jest prostsze.

Yhm, ja też właśnie dostrzegłem. W przypadku kostki, wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ 6}\).

Jak dla mnie mamy rozkład... z \(\displaystyle{ p=\frac{2}{3}}\).

teraz już jasne, że geometryczny.

Pytanie jeszcze dlaczego \(\displaystyle{ p=\frac{2}{3}}\)? Czy jeśli zignorujemy pole 4, to czy prawdopodobieństwa zmienią się wszystkie na \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)? Dlaczego?

[pyzol]

Pole \(\displaystyle{ 4}\) nie jest punktowane, nie ma w ogóle znaczenia (graj dalej). Może inny przyład. Masz w loterii \(\displaystyle{ 10}\) losów. \(\displaystyle{ 2}\) wygrywają, \(\displaystyle{ 4}\) przegrywają, a \(\displaystyle{ 4}\) mówią graj dalej. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej. Czy losy "graj dalej" mają jakiekolwiek znaczenie?
Ja tak piszę bez obliczeń z doświadczenia, ale możesz sprawdzić, po dwóch kolejkach. Zrób tabelkę zobacz co wyjdzie. Wpadając w \(\displaystyle{ 4}\) to jest powtórka rzutu i znowy liczymy na \(\displaystyle{ 1,2}\), byle nie \(\displaystyle{ 3}\). Ja wypadło \(\displaystyle{ 4}\), to właściwie można uznać, że nic się nie stało...

[tometomek91]

Ok, wszystko się zgadza, wynik to \(\displaystyle{ 2}\). Dzięki Wam!