Nierówność z wariancją

[Arst]

Niech X,Y będą niezależne. Pokazać, że
\(\displaystyle{ \mathcal{D}^2XY \ge \mathcal{D}^2X \mathcal{D}^2Y}\)
Jakie warunki muszą spełniać zmienne X,Y by zachodziła równość?

Moje rozwiązanie:
po serii przekształceń wyjściowa nierówność przedstawia się jako:
\(\displaystyle{ (\EE X)^2 \mathcal{D}^2Y+(\EE Y)^2 \mathcal{D}^2X \ge 0}\), która jest oczywista, ponieważ po lewej stronie mamy sumę nieujemnych składników.

Teraz równość: stwierdziłem, że zachodzi ona gdy choć jedna ze zmiennych jest stała z prawdopodobieństwem 1, ale jak uzasadnić, że to jedyny warunek jaki musi zostać spełniony? I czy napewno jedyny?

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[pyzol]

Wydaje mi się, że powinieneś tutaj wszystkie możliwości rozpatrzeć (wiadomo, że każde z wyrażeń podanych jest nieujemne):
\(\displaystyle{ 1.\mathcal{E}X=0 \wedge \mathcal{D}^2 X=0}\), bądź też \(\displaystyle{ Y}\), więc jedna z nich przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 2. \mathcal{D}^2 Y=0 \wedge \mathcal{D}^2 X=0}\) czyli obie są stałe.
\(\displaystyle{ 3. \mathcal{E}X=\mathcal{E}Y=0}\)
I ten ostatni przypadek też powinien przechodzić. Weź prosty przykład:
\(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}=P(Y=1)=P(Y=-1)}\)
i sprawdź.