Zmienna jako suma zmiennych losowych

[Matematol]

Chciałbym zadać trochę dziwne pytanie. Mianowicie, mam problem ze zrozumieniem jaki sens ma sumowanie zmiennych losowych. Np przy centralnym twierdzeniu granicznym występuje zmienna \(\displaystyle{ Y_{n} = \sum_{i=1}^k (X_i)}\) lub przy definiowaniu rozkładu chi kwadrat \(\displaystyle{ Y = \sum_{i=1}^k (X_i)^2}\). Czy z racji tego, że zmienna losowa jest funkcją taką sumę należy rozumieć jako sumę funkcji? Prosiłbym o wytłumaczenie tej kwestii najlepiej łopatologicznie (może za pomocą jakiegoś przykładu).

[miodzio1988]

304802.htm#p4957508

tutaj masz fajny przykład obrazujący po co.

[Matematol]

Czy można wytłumaczyć inaczej. Niestety nie łapie.

[miodzio1988]

Ale czego nie łapiesz w tym przykładzie?

[Matematol]

Np nie wiem co to jest wzór włączeń i wyłączeń i dlaczego \(\displaystyle{ EX = \sum_{n=1}^{ \infty } P(x \ge n)}\). Ale nie dało by się tego wytłumaczyć bardziej łopatologicznie, nie za pomocą tego przykładu?

[miodzio1988]

Witam, rzucamy kostką aż wyrzucimy wszystkie możliwe wyniki.
Obliczyć średnią liczbę rzutów.

No i sumujemy kolejne zmienne losowe po to aby zliczyć daną wartość oczekiwaną. fajne zastosowanie sumy zmiennych losowych o co prosiłeś.

Swoją drogą, co to jest zmienna losowa? Intepretacje podaj

[Matematol]

Zmienną losową nazywamy funkcję \(\displaystyle{ X}\) określona na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\), o wartościach rzeczywistych. Tylko, że ja to rozumię w ten sposób, że \(\displaystyle{ Y_{n}}\) jest zmienną losową która jest sumą \(\displaystyle{ X_{1},X_{2}, X_{3},...,X_{n}}\) gdzie każda \(\displaystyle{ X_{i}}\) jest zmienną losową czyli funkcją która przyjmuje kolejne wartości a w podanym przez Ciebie przykładzie mamy jedną zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) przyjmujacą różne wartości a tu chodzi nie o sumowanie kolejnych wartości jakie przyjmuje jedna zmienna losowa lecz o sumowanie różnych zmiennych. Ale zamotałem:).

[miodzio1988]

Sumujemy sobie zmienne losowe o rozkładzie geometrycznym:
-liczba rzutów na to by wypadło co kolwiek,
-liczba rzutów na to by wypadło coś innego niż na początku, itd.

Na pewno dobrze zerkasz?

[Arst]

(...) dlaczego \(\displaystyle{ EX = \sum_{n=1}^{ \infty } P(x \ge n)}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ X= \sum_{i=1}^{\infty} \textbf{1}_{\{X \ge i\}}}\), stąd:
\(\displaystyle{ \EE X= \sum_{i=1}^{\infty} \EE \textbf{1}_{\{X \ge i\}}=\sum_{i=1}^{\infty} \PP (X \ge i)}\)

Pozdrawiam,
A.

[Matematol]

Nadal nie rozumię w którym miejscu w poprzednim zadaniu odbywa się sumowane zmiennych losowych i jakie zmienne losowe są sumowane.