Nierówność Czebyszewa

[Arst]

Wykonujemy 180 rzutów kostką. Oszacować z prawdopodobieństwem 0,9 liczbę otrzymanych szóstek.

Jak ja to rozumiem:
\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n=180}\) i \(\displaystyle{ p=\frac{1}{6}}\), ponieważ chodzi nam o liczbę sukcesów w 180 niezależnych próbach (rzutach kostką).
Stąd \(\displaystyle{ \EE X=np=30}\), \(\displaystyle{ \mathcal{D}^2 X=np(1-p)=25}\)
i teraz nierówność:
\(\displaystyle{ P(|X-\EE X| \ge \varepsilon) \le \frac{\mathcal{D}^2 X}{\varepsilon^2}}\)
stąd \(\displaystyle{ \frac{\mathcal{D}^2 X}{\varepsilon^2} \le 0,9}\), czyli \(\displaystyle{ \varepsilon \ge 5,27}\)
przekształciłem nierówność: \(\displaystyle{ P(|X-\EE X|<5,27) \ge 0,1}\) i stąd otrzymałem: \(\displaystyle{ P(25 \le X \le 35) \ge 0,1}\). W odpowiedzi mam \(\displaystyle{ P(15 \le X \le 45) \ge 0,9}\)...

Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Sylwek]

stąd \(\displaystyle{ \frac{\mathcal{D}^2 X}{\varepsilon^2} \le 0,9}\)

Tu zamiast \(\displaystyle{ 0,9}\) powinieneś dać \(\displaystyle{ 0,1}\), bo tu szacujesz liczbę szóstek, której z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-0,9}\) NIE chcesz otrzymać.

P.S. O ile się nie pomyliłeś w liczeniu, to oba napisy:

\(\displaystyle{ P(25 \le X \le 35) \ge 0,1}\). W odpowiedzi mam \(\displaystyle{ P(15 \le X \le 45) \ge 0,9}\)...

są poprawne, tylko w poleceniu prosili o \(\displaystyle{ \PP(X \in A) \ge 0,9}\)

[Arst]

Wielkie dzięki, już rozumiem