dwa zadania. w pierwszym nie jestem pewna czy rozumiem problem/treść. w drugim nie przekonuje mnie słuszność własnej odpowiedzi. będę wdzięczna za sugestywne wskazówki i wyrozumiałość
Zadanie 1.
Każda z \(\displaystyle{ N+1}\) identycznych urn, oznaczonych numerami \(\displaystyle{ 0, \ 1, \ \dotsc \ , \ N}\) zawiera \(\displaystyle{ N}\) kul, przy czym \(\displaystyle{ k}\)-ta urna zawiera \(\displaystyle{ k}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ N-k}\) białych, \(\displaystyle{ k=0, \ 1, \ \dotsc , \ N}\). Z wybranej losowo urny losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ n}\)-krotnie jedną kulę. Jeżeli wszystkich \(\displaystyle{ n}\) kul jest czarnych, jakie jest p-stwo, że w \(\displaystyle{ n+1}\)-szym ciągnięciu również otrzymamy czarną kulę?
Z dłubania własnego:
Z p-stwem \(\displaystyle{ \mathrm{P}(A)=\frac{k^n}{(N+1)N^n}}\)wylosowano \(\displaystyle{ n}\) czarnych kul pod rząd z \(\displaystyle{ k}\)-tej urny. Zatem urnę mamy już ustaloną, ale prawdopodobieństwo wyciągnięcia z niej czarnej kuli nie jest inne niż wyciągnięcia każdej czarnej wcześniej. Czyli wg. mnie odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ \frac{{k \choose 1}}{{n \choose 1}}}\). (Bez wymnażania z \(\displaystyle{ \frac{1}{N+1}}\) bo z treści zadania rozumiem, że pytanie odnosi się do już ustalonej urny).
Czuję, że takie rozumowanie jest zbyt sprytne ani dobre, ale na nic lepszego nie wpadłam. Poza tym liczenie \(\displaystyle{ \mathrm{P}(A)}\) nie wydaje mi się niepotrzebne. pomocy.
Zadanie 2.
Mamy 13 urn: \(\displaystyle{ U_1, \ \dotsc, \ U_{13}}\), przy czym \(\displaystyle{ U_i}\) zawiera \(\displaystyle{ i}\) kul białych oraz \(\displaystyle{ 13-i}\) czarnych, \(\displaystyle{ i=1, \ \dotsc, \ 13}\). Wybieramy losowo jedną urnę (p-stwo wybrania każdej urny jest proporcjonalne do liczby znajdujących się w niej białych kul), a następnie losujemy z niej dwie kule. Okazało się, że są różnych kolorów. Zatem jakie jest p-stwo, że te dwie kule pochodziły z \(\displaystyle{ j}\)-tej urny?
Z dłubania własnego:
\(\displaystyle{ A_j}\) - wylosowanie \(\displaystyle{ j}\)-tej urny.
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowanie dwóch różnego koloru kul z \(\displaystyle{ j}\) - tej urny.
\(\displaystyle{ \mathrm{P}(A_j) = \frac{j}{91}}\).
\(\displaystyle{ \mathrm{P}(B | A_j) = \frac{{j \choose 1} {13-j \choose 1}}{{13 \choose 2}} = \frac{j(13-j)}{78}}\).
Zadanie zaleciało mi Bayesem, stąd:
\(\displaystyle{ \mathrm{P}(A_j|B) = \frac{\mathrm{P}(B|A_j) \mathrm{P} (A_j)}{\sum_{i=1}^{13} \mathrm{P}(B|A_i) \mathrm{P}(A_i)}= \frac{\frac{j(13-j)}{78} \cdot \frac{j}{91}}{\sum_{i=1}^{13} \frac{i(13-i)}{78} \cdot \frac{i}{91}} = \frac{j^2(13-j)}{2366}}\)
(tym razem pomogłam sobie Wolphram'em, ale jak zliczyć skończony szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^h}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) to ustalona stała?
).Wydaje mi się to dobre, ale zmartwiło mnie, że wykres mojego rozwiązania nie jest symetryczny, wygląda raczej jak zdmuchnięta na wschód wydma. P-stwo wyciągnięcia dwóch różnego koloru kul dla j=3 i j=10 powinno być takie samo (bo czy trzy czarne a 10 białych czy odwrotnie...)
