Plansza z polami - znaleźć granicę ciągu prawdopodobieństw.

[tometomek91]

Dana jest plansza z trzema polami o numerach 1, 2 i 3. Pionek może przemieścić się w \(\displaystyle{ n}\) ruchach z pola \(\displaystyle{ i}\) na pole \(\displaystyle{ j}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{ij}(n)}\) (\(\displaystyle{ i=1,2,3;\ j=1,2,3}\)). Wiemy, że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p_{11}(1) & p_{12}(1) & p_{13}(1)\\ p_{21}(1) & p_{22}(1) & p_{23}(1) \\ p_{31}(1) & p_{32}(1) & p_{33}(1) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 0,3 & 0,3 & 0,4 \\ 0,4 & 0,5 & 0,1 \\ 0,7 & 0,2 & 0,1 \end{array}\right]}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ p_{ij}(n)}\) i znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} p_{ij}(n)}\) dla \(\displaystyle{ j=1,2,3}\).

Mile widziane rozwiązanie jak najbardziej elementarne, z góry dziękuję.

[norwimaj]

Zakładając niezależność poszczególnych ruchów pionka, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, mamy

\(\displaystyle{ p_{ij}(n)=\sum_{k=1}^3p_{ik}(n-1)\cdot p_{kj}(1)}\),

co powinno Ci się kojarzyć z mnożeniem macierzy. Problem sprowadza się więc do potęgowania macierzy i ja bym tu najpierw poszukał postaci Jordana macierzy \(\displaystyle{ (p_{ij}(1))}\).

[tometomek91]

Ok, dzięki. Już wiem jak postąpić w takim przpadku.
Tutaj pierwiastkami wielomianu charakterystycznego są liczby \(\displaystyle{ 10}\), \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}(1+\sqrt{37})}\) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}(1-\sqrt{37})}\), czy można wtedy wyznaczyć podprzestrzeń \(\displaystyle{ V_{\lambda}^{(k)}< \mathbb{R}^3}\) zdefiniowaną jako zbiór \(\displaystyle{ \{ v \in \mathbb{R}^3:\ (\varphi- \lambda \cdot \mbox{id})^k(v)= \vec{0} \}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) to endomorfizm przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) o macierzy \(\displaystyle{ (p_{ij}(1))}\) w bazie standardowej, dla \(\displaystyle{ \lambda=-\frac{1}{2}(1+\sqrt{37})}\)?

Zawsze to robiłem dla \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{Z}}\).

[Zordon]

To co trzeba policzyć to po prostu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } M^n}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) to macierz z treści zadania. Taka granica istnieje, i dosyć łatwo ją obliczyć:
najpierw wyznaczamy rozkład \(\displaystyle{ M=PDP^{-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ D}\) to macierz diagonalna: \(\displaystyle{ diag(1,x_1,x_2)}\) oraz \(\displaystyle{ |x_1|,|x_2|<1}\) (1,\(\displaystyle{ x_1,x_2}\) to wartości własne). Oczywiście 10 nie jest wartością własną tej macierzy jakby wynikało z Twojego posta, z ogólnej teorii, moduł takiej wartości własnej nie przekracza 1.

Wynikiem będzie \(\displaystyle{ P\cdot diag(1,0,0)\cdot P^{-1}}\).

[tometomek91]

gdzie \(\displaystyle{ D}\) to macierz diagonalna: \(\displaystyle{ diag(1,x_1,x_2)}\) oraz \(\displaystyle{ |x_1|,|x_2|<1}\) (1,\(\displaystyle{ x_1,x_2}\) to wartości własne).

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ D}\) jest właśnie takiej postaci?

[Zordon]

Wyliczyłem wartości własne, i stąd wiem - są po prostu 3 różne.

[Wasilewski]

Swoją drogą, żeby policzyć graniczne prawdopodobieństwa przejścia, to można uciec się do skorzystania z ergodyczności tego łańcucha Markowa; wiadomo wówczas, że każdy rozkład zbiega, i to wykładniczo szybko, do jedynego rozkładu stacjonarnego. Wystarczy zatem wyznaczyć ten rozkład stacjonarny, a następnie startować od wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0), \mbox{ }(0,1,0), \mbox{ } (0,0,1)}\), by wyznaczyć potrzebne granice.

[tometomek91]

yhm, tylko chciałem własnie nie korzystać z twierdzenia ergodycznego
Dzięki Wam za pomoc.