Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 mar 2012, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana
W urnie jest pięć kul białych i dziesięć kul czarnych. Losujemy po jednej kuli bez zwracania do momentu, aż wśród wylosowanych kul znajdą się kule obydwu kolorów. Jaka jest wartość oczekiwana liczby wylosowanych kul czarnych?
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana
Spróbuj policzyć tak wprost:
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza ilość kul czarnych. Wtedy może ona przyjmować wartości \(\displaystyle{ 1,2,...,10}\) i
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{15}=\frac{2}{3}\\
P(X=k)=\frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{15-i}\ \text{dla}\ 10 \ge k>1.}\)
Wtedy można policzyć
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{10} k \cdot P(X=k)}\)
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza ilość kul czarnych. Wtedy może ona przyjmować wartości \(\displaystyle{ 1,2,...,10}\) i
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{15}=\frac{2}{3}\\
P(X=k)=\frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{15-i}\ \text{dla}\ 10 \ge k>1.}\)
Wtedy można policzyć
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{10} k \cdot P(X=k)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana
Domyślam się że chodzi tu o rozpatrzenie przypadków \(\displaystyle{ cb, bc, bbc, bbbc, \ldots}\). W takim razie powinno byćtometomek91 pisze: \(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{15}=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{\red 14}+\frac{5}{\red 14} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{\red 14} \cdot \frac{4}{\red 13} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{\red 14} \cdot \frac{4}{\red 13} \cdot \frac{3}{\red 12} \cdot \frac{2}{\red 11} \cdot \frac{1}{\red 10} \cdot \frac{10}{15},}\)
ewentualnie z inną kolejnością mianowników.
Na to dokładnie nie patrzyłem, ale zdaje mi się, że powinno byćtometomek91 pisze: \(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{15-i}\ \text{dla}\ 10 \ge k>1.}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{{\red 14}-i}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy