Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
theblacktruffle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 21 mar 2012, o 22:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana

Post autor: theblacktruffle »

W urnie jest pięć kul białych i dziesięć kul czarnych. Losujemy po jednej kuli bez zwracania do momentu, aż wśród wylosowanych kul znajdą się kule obydwu kolorów. Jaka jest wartość oczekiwana liczby wylosowanych kul czarnych?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana

Post autor: tometomek91 »

Spróbuj policzyć tak wprost:
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza ilość kul czarnych. Wtedy może ona przyjmować wartości \(\displaystyle{ 1,2,...,10}\) i
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{15}=\frac{2}{3}\\
P(X=k)=\frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{15-i}\ \text{dla}\ 10 \ge k>1.}\)

Wtedy można policzyć
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{10} k \cdot P(X=k)}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana

Post autor: norwimaj »

tometomek91 pisze: \(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{15}=\frac{2}{3}}\)
Domyślam się że chodzi tu o rozpatrzenie przypadków \(\displaystyle{ cb, bc, bbc, bbbc, \ldots}\). W takim razie powinno być

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=1)=\frac{10}{15} \cdot \frac{5}{\red 14}+\frac{5}{\red 14} \cdot \frac{10}{15}+\frac{5}{\red 14} \cdot \frac{4}{\red 13} \cdot \frac{10}{15}+...+ \frac{5}{\red 14} \cdot \frac{4}{\red 13} \cdot \frac{3}{\red 12} \cdot \frac{2}{\red 11} \cdot \frac{1}{\red 10} \cdot \frac{10}{15},}\)

ewentualnie z inną kolejnością mianowników.
tometomek91 pisze: \(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{15-i}\ \text{dla}\ 10 \ge k>1.}\)
Na to dokładnie nie patrzyłem, ale zdaje mi się, że powinno być
\(\displaystyle{ \frac{5}{15} \cdot \prod_{i=0}^{k-1} \frac{10-i}{{\red 14}-i}}\).
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Losowanie po jednej kuli bez zwracania. Wartosc oczekiwana

Post autor: tometomek91 »

Tak, dzięki
ODPOWIEDZ