Prawdopodobieństwo warunkowe
-
theblacktruffle
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 21 mar 2012, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Prawdopodobieństwo warunkowe
O zdarzeniach \(\displaystyle{ A, B, C}\) z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż \(\displaystyle{ P (A|B \cap C) = 0.6, \ P(B|A \cap C) = 0.3}\) oraz \(\displaystyle{ P(C|A \cap B) = 0.9.}\) Obliczyć \(\displaystyle{ P\left[ A \cap B \cap C|\left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right)\right] .}\)
Ostatnio zmieniony 8 sie 2012, o 19:55 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeX-a do zapisu wyrażeń matematycznych. Zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Używaj LaTeX-a do zapisu wyrażeń matematycznych. Zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Prawdopodobieństwo warunkowe
Wiemy, że
\(\displaystyle{ \frac{10}{6}P(A \cap B \cap C)=P(B \cap C)\\
\frac{10}{3}P(A \cap B \cap C)=P(A \cap C)\\
\frac{10}{9}P(A \cap B \cap C)=P(A \cap B)}\).
Z definicji:
\(\displaystyle{ P\left[ A \cap B \cap C|\left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right)\right]=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )}}\)
Łatwo wykazać, że:
\(\displaystyle{ P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )=P(A \cap B)+P(A \cap C)+P(B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}\),
czyli dalej
\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B \cap C)}{P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )}=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)+P(A \cap C)+P(B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}=\frac{P(A \cap B \cap C)}{\frac{10}{9}P(A \cap B \cap C)+\frac{10}{3}P(A \cap B \cap C)+\frac{10}{6}P(A \cap B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}=\frac{9}{37}}\)
\(\displaystyle{ \frac{10}{6}P(A \cap B \cap C)=P(B \cap C)\\
\frac{10}{3}P(A \cap B \cap C)=P(A \cap C)\\
\frac{10}{9}P(A \cap B \cap C)=P(A \cap B)}\).
Z definicji:
\(\displaystyle{ P\left[ A \cap B \cap C|\left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right)\right]=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )}}\)
Łatwo wykazać, że:
\(\displaystyle{ P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )=P(A \cap B)+P(A \cap C)+P(B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}\),
czyli dalej
\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B \cap C)}{P( \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) )}=\frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)+P(A \cap C)+P(B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}=\frac{P(A \cap B \cap C)}{\frac{10}{9}P(A \cap B \cap C)+\frac{10}{3}P(A \cap B \cap C)+\frac{10}{6}P(A \cap B \cap C)-2P(A \cap B \cap C)}=\frac{9}{37}}\)