wybzdyczona talia kart (s kolorów po n kart)

[pea]

witajcie, mam problem z poniższym zadaniem. mam również jakąś koncepcję na rozwiązanie, ale sama w nią nie wierzę. zadanie jest takie:

mamy talię kart złożoną z \(\displaystyle{ s}\) kolorów po \(\displaystyle{ n}\) kart w kolorze (ponumerowanych od 1 do n).
i losujemy po jednej karcie bez zwracania. a polecenie brzmi:
"Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że potrzeba dokładnie \(\displaystyle{ r}\) ciągnięć, aby otrzymać próbkę zawierającą wszystkie numery, a następnie znaleźć granicę otrzymanego wyrażenia gdy \(\displaystyle{ s \to \infty}\)".

docenię każdą pomoc

[norwimaj]

wzór włączeń i wyłączeń

[pea]

jak to?
czym tutaj byłyby zdarzenia \(\displaystyle{ A_i}\)?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ A_i}\) - nie wylosowano żadnej karty o numerze \(\displaystyle{ i}\).

Najpierw zrób wersję że potrzeba co najwyżej \(\displaystyle{ r}\) ciągnięć a nie dokładnie \(\displaystyle{ r}\).

[pea]

ok, mam tak:
\(\displaystyle{ B_r}\) - wylosowanie każdej z n figur w r ciągnięciach
\(\displaystyle{ A_i}\) - nie wylosowano i-tej figury

Szukam \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_r) = 1 - \mathrm{P}( \bigcup_{i=1}^n A_i )}\).
Znalazłam coś takiego: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_r) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i {n \choose i} \cdot \frac{{s(n-i) \choose r}}{{ns \choose r}}}\).

Jakby oko zmrużyć i się uprzeć, to może i przypomina to jakąś tożsamość trygonometryczną. Dla mnie jednak ta suma jest jakaś patologiczna. Kombinowałam, przekształcałam lecz bez znaczącego efektu. A policzenie granicy \(\displaystyle{ s \to \infty}\) na tej patologicznej sumie nie wydaje mi się możliwe.

I na co robić dwie wersje z e\(\displaystyle{ r}\)em ?

[norwimaj]

Masz skończoną liczbę składników (niezależną od \(\displaystyle{ s}\)), więc możesz wejść z granicą pod znak sumy.

Pamiętaj że ostatecznie w tym zadaniu chodzi o zdarzenie \(\displaystyle{ B_r\setminus B_{r-1}}\), bo "potrzeba dokładnie \(\displaystyle{ r}\) ciągnięć".

[pea]

ok, dzięki wielkie, myślę, że dalej sobie poradzę.