Dystrybuanta - jak wyznaczyć przedziały

[wiskitki]

Mam takie proste zadanie, a nie mogę go skończyć... Mam zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ U(1,3)}\) i muszę wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y=-3X+2}\).
Wiadomo, że \(\displaystyle{ F(t)=P(Y<t)=1-P\left( X< \frac{2-t}{3} \right)=1-F\left( \frac{2-t}{3}\right) =1- \int_{-\infty}^{\frac{2-t}{3}} f(x)dx}\).
I teraz nie wiem, czy powinienem to obliczyć dla 3 przypadków:
1. dla \(\displaystyle{ x\in[1,3]}\), 2. dla \(\displaystyle{ x<1}\), 3. dla \(\displaystyle{ x>3}\)
W pierwszym przypadku mam obliczyć \(\displaystyle{ 1- \int_{\red{1}}^{\frac{2-t}{3}} f(x)dx}\)? Bo wynik i tak wychodzi zły.

[Nakahed90]

Zamiast liczyć \(\displaystyle{ F(\frac{2-t}{3})}\) możemy policzyć \(\displaystyle{ F(x)}\) (później dokonany tylko odpowiedniego podstawienia i będzie ok)

\(\displaystyle{ X \sim U(1,3)}\), zatem funkcja gęstości jest opisana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}\cdot 1_{[1,3]}}\) Widzimy stąd, że dystrybuanta będzie określona trzema wzorami, czyli musimy rozbić na trzy przypadki:
\(\displaystyle{ 1. xin (-infty,1) \ 2. xin [1,3) \ 3. xin [3,infty)}\)
i w każdym z tych przypadków musi osobno policzyć.
Dla przykładu:
Ad II.
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x}f(x)dx= \int_{-\infty}^{1}f(x)dx+ \int_{1}^{x}f(x)dx=...}\)
Spróbuj sam to policzyć jak i inne przypadki. Po zrobieniu tego dokonaj podstawienia
\(\displaystyle{ x=\frac{2-t}{3}}\) i oczywiście odpowiednio przerób wtedy przedziały na jakich ten wzór na dystrybuantę będzie prawdziwy.