Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Witam.
Możliwe, że są osoby na forum, które robiły to zadanie gdyż jest z kartkówki z UW(07.03.12r).
Na początku w urnie jest b kul białych i c czarnych. Wykonujemy
wielokrotnie następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, a następnie zwracamy ją do urny dodając 5 kul w wylosowanym kolorze.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że za 10-tym razem wylosujemy kulę czarną?
[bzdura]
Już zauważyłem błąd, proszę o usunięcie.
Może da się to jakoś sprytniej zrobić używając schematu Pólya?
Można na początku kule w urnie pokolorować kolorami \(\displaystyle{ B_1,B_2,\ldots,B_b,C_1,\ldots,C_c}\). Wtedy wylosowanie każdego z \(\displaystyle{ b+c}\) kolorów jest tak samo prawdopodobne.
Na początku w urnie jest b kul białych i c czarnych. Wykonujemy wielokrotnie następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, a następnie zwracamy ją do urny dodając d kul w wylosowanym kolorze. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że za n-tym razem wylosujemy kulę czarną?
Rysujemy drzewko Na początku jest b kul białych i c czarnych. Są dwie możliwości: losujemy białą z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{b}{b+c}}\) lub losujemy czarną z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{c}{b+c}}\). W pierwszym przypadku mamy w urnie już b+d kul białych i c czarnych, a w drugim c+d kul czarnych i b białych, itd. W n-tym losowaniu w urnie jest \(\displaystyle{ b+c+(n-1)d}\) kul i drzewko ma na samym dole \(\displaystyle{ 2^{n}}\) "gałęzi-dróg", z czego połowa to "gałęzie-drogi" prowadzące do wyniku "wylosowano kulę czarną". Należy zliczyć wszystkie "gałęzie-drogi". Jedną z nich jest np. losowanie za każdym razem kul czarnych, wtedy z reguły mnożenia mamy \(\displaystyle{ \frac{c(c+d)(c+2d)...(c+(n-1)d)}{(b+c)(b+c+d)(b+c+2d)...(b+c+(n-1)d)}}\).
Gdy np za drugim i tylko drugim razem wylosowaliśmy kulę białą (a reszta to czarne), wtedy mamy \(\displaystyle{ \frac{c \cdot b \cdot (c+d)(c+2d)...(c+(n-2)d)}{(b+c)(b+c+d)(b+c+2d)...(b+c+(n-1)d)}}\).
Jeszcze, gdy np. wylosowaliśmy tylko raz kulę czarną (oczywiście jako ostatnią) to mamy \(\displaystyle{ \frac{b(b+c)(b+c+d)(b+c+2d)...(b+c+(n-2)d) \cdot c}{(b+c)(b+c+d)(b+c+2d)...(b+c+(n-1)d)}}\)
Ogólnie można losować k razy kulę czarną i n-k razy kulę białą, tak aby na końcu wylosować kulę czarną, łącznie sposobów jest: \(\displaystyle{ c(c+d)(c+2d)...(c+(n-1)d)+\sum_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k-1} c(c+d)(c+2d)...(c+(k-1)d) \cdot b(b+d)(b+2d)...(b+(n-k-1)d)}\)
i prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi: \(\displaystyle{ \frac{c(c+d)...(c+(n-1)d)+ \sum_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k-1} c(c+d)(c+2d)...(c+(k-1)d) \cdot b(b+d)...(b+(n-k-1)d)}{(b+c)(b+c+d)...(b+c+(n-1)d)}}\).
Bo \(\displaystyle{ A_n'}\) oznacza że wylosowano jedną z kul, które były w urnie przed poprzednim losowaniem. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_n|A'_n)}\) to iloraz liczby kul czarnych będących w urnie przed poprzednim losowaniem przez liczbę wszystkich kul przed poprzednim losowaniem.\(\displaystyle{ \mathbb{P}(C_{n-1})}\) też jest tyle równe.
To, co napisałem na początku, pozwala uniknąć tych przekształceń.
Ok, czyli efektem ubocznym jest tożsamość: \(\displaystyle{ \frac{c(c+d)...(c+(n-1)d)+ \sum_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k-1} c(c+d)(c+2d)...(c+(k-1)d) \cdot b(b+d)...(b+(n-k-1)d)}{(b+c)(b+c+d)...(b+c+(n-1)d)}=\frac{c}{b+c}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ n}\), jako dobre ćwiczenie ;P
