Dystrybuanta iloczynu zmiennych o mieszanych rozkładach

[Arst]

Witam,

\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Cauchy'ego. \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną niezależną od \(\displaystyle{ X}\), t.że \(\displaystyle{ \PP(Y=1)=1-\PP(Y=-1)=p, \ p \in (0,1)}\). Znaleźć dystrybuantę i gęstość \(\displaystyle{ Z=XY}\)

Mój pomysł jest taki:
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\PP(Z<z)=\PP(XY<z)= \\ \PP(XY<z | Y=1)\PP(Y=1) + \PP(XY<z | Y=-1)\PP(Y=-1)= \\ p\PP(X<z)+(1-p)\PP(-X<z)= \\ p\left( \frac{1}{\pi}\arctan\left( \frac{z-m}{a}\right) +\frac{1}{2}\right)+(1-p)(1-\PP(X \le -z))= \\ p\left( \frac{1}{\pi}\arctan\left( \frac{z-m}{a}\right) +\frac{1}{2}\right)+(1-p)\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\left( \frac{z+m}{a}\right)\right)}\).
Mając dystrybuantę, gęstość już sobie łatwo wyznaczę.

Nie mam niestety odpowiedzi, więc proszę o sprawdzenie rozwiązania.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Lider Artur]

Według mnie rozwiązanie jest poprawne.