Dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej

[Arst]

Witam,

zadanie jest następujące:
\(\displaystyle{ X,Y \sim \mathrm{Exp}(\lambda)}\), niezależne. Znaleźć dystrybuantę i gęstość zmiennej \(\displaystyle{ V=|X-Y|}\).

Proszę tylko o sprawdzenie rozumowania (dystrybuanta):
\(\displaystyle{ F_V(t)=\mathbb{P}(|X-Y|<t)=\mathbb{P}(X-Y<t,Y-X<t)= \\ = \iint \limits_{\RR^2_+} \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}x \mbox{d}y -\int_{0}^{\infty}\int_{t}^{x+t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x -\int_{t}^{\infty}\int_{0}^{x-t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Alef]

Raczej:

\(\displaystyle{ F_V(t)=\mathbb{P}(|X-Y|<t)=\mathbb{P}(-t<X-Y<t)=...}\)

A.

[norwimaj]

Alef, a co za różnica?

Arst, chyba granice całkowania się nie zgadzają. Moim zdaniem to będzie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{x+t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x -
\int_{t}^{\infty}\int_{0}^{x-t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x,}\)

albo inaczej

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t}\int_{0}^{x+t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x+\int_{t}^{\infty}\int_{x-t}^{x+t}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} \mbox{d}y \mbox{d}x.}\)

[Arst]

Słuszna uwaga, przekombinowałem i pomyliłem się w wyznaczeniu granic. Dzięki wielkie za sprawdzenie

Pozdrawiam