Zmienna losowa, dowód

[Arst]

Witam,

zadanie jest następujące:

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem atomowym na \(\displaystyle{ \Omega}\), tzn. istnieje przeliczalny lub skończony ciąg \(\displaystyle{ A_1,A_2,...}\) podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\), t.że \(\displaystyle{ \bigcup_i A_i=\Omega}\), \(\displaystyle{ A_i \cap A_j = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ i \not = j}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\sigma\{A_1,A_2,...\}}\). Pokazać, że każda zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A})}\) jest funkcją stałą na zbiorach \(\displaystyle{ A_i}\) oraz, że każda funkcja postaci \(\displaystyle{ X(\omega)=\sum_{i=1}^{\infty} c_i \chi_{A_i}(\omega)}\) jest zmienną losową na \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A})}\)

Drugą część tezy zrobiłem następująco:
Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ X_i(\omega)=c_i \chi_{A_i}(\omega)}\). Wtedy \(\displaystyle{ X(\omega)=\sum_{i=1}^{\infty}X_i(\omega)}\)
Łatwo można pokazać, że \(\displaystyle{ X_i}\) jest zmienną losową na \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A})}\), o ile \(\displaystyle{ A_i \in \mathcal{A}}\), ale to jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest zdefiniowane jako najmniejsze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zawierające podzbiory \(\displaystyle{ A_i}\). Teza wynika bezpośrednio z faktu, że suma zmiennych losowych jest zmienną losową.

Bardzo bym prosił o wskazówki, jak ruszyć tą pierwszą część.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Ein]

Wskazówka do części pierwszej: Nie istnieje podzbiór właściwy mierzalny żadnego \(\displaystyle{ A_i}\). Dalej wykorzystaj definicję mierzalności funkcji.

[Arst]

Nie istnieje podzbiór właściwy mierzalny żadnego \(\displaystyle{ A_i}\)

Skąd wiadomo, że taki podzbiór nie istnieje?-- 2 sierpnia 2012, 00:24 --edit: mam pokazać, że dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i dla dowolnie wybranego \(\displaystyle{ A_i \in \mathcal{A}}\) jeśli \(\displaystyle{ \omega \in A_i \Rightarrow X(\omega)=C}\), ale nie potrafię zastosować tej wskazówki, żeby tego dowieść.

[Ein]

\(\displaystyle{ A_i}\) są atomami.

Hmm... wiesz jak wygląda dowolny zbiór należący do \(\displaystyle{ \sigma(A_1,A_2,A_3,\ldots)}\)? Bo go można wzorem zapisać.

[Arst]

O ile dobrze pamiętam, to powinno być coś takiego (chyba, że nie o to Ci chodziło): \(\displaystyle{ \sigma(A_1,A_2,A_3,\ldots)= \bigcap\{\mathcal{K} \subseteq 2^{\Omega}: \ {\mathcal{K} \supseteq \{A_1,A_2,A_3,\ldots\}}\}}\)

[Ein]

Nie, nie o to chodziło. Ja pytam o postać elementów należących do \(\displaystyle{ \sigma(A_1,A_2,\ldots)}\), a nie o postać samego \(\displaystyle{ \sigma(A_1,A_2,\ldots)}\).

Przez \(\displaystyle{ 2^\omega}\) będę standardowo rozumiał rodzinę wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach równych \(\displaystyle{ 0}\) bądź \(\displaystyle{ 1}\). Oznaczmy: \(\displaystyle{ A^1=A}\) oraz \(\displaystyle{ A^0=A^c}\) (dopełnienie).

Każdy element \(\displaystyle{ B\in\sigma(A_1,A_2,\ldots)}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ B=\bigcup_{\delta\in\Delta}\bigcap_i A_i^{\delta(i)}}\)

dla pewnego podzbioru \(\displaystyle{ \Delta\subseteq 2^\omega}\). (Jeśli tego nie wiesz, to spróbuj to pokazać.)

Stąd już łatwo widać, że \(\displaystyle{ A_i}\) są atomami w \(\displaystyle{ \sigma(A_1,A_2,\ldots)}\).