Pokazać, że ciąg jest łańcuchem Markowa...

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ (X_n)}\) będzie przypadkowym błądzeniem na prostej, tzn. \(\displaystyle{ P(X_n=1)=p}\) i \(\displaystyle{ P(X_n=-1)=1-p}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ X_0=0}\). Niech \(\displaystyle{ Y_n=U_n-X_n}\) gdzie \(\displaystyle{ U_n=\max_{k \le n} X_k}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ Y_n}\) jest łancuchem Markowa.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y_{n+1}=0|Y_0=y_0,\ldots,Y_n=y_n)=\\\mathbb{P}(Y_n=0,X_{n+1}=1|Y_0=y_0,\ldots,Y_n=y_n)+\\\mathbb{P}(Y_n=1,X_{n+1}=-1|Y_0=y_0,\ldots,Y_n=y_n)=\ldots,}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y_{n+1}=t|Y_0=y_0,\ldots,Y_n=y_n)=\ldots}\)

[tometomek91]

Hmm nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ Y_{n+1}=0}\) to to samo co albo \(\displaystyle{ Y_n=0}\) i \(\displaystyle{ X_{n+1}=1}\) albo \(\displaystyle{ Y_n=1}\) i \(\displaystyle{ X_{n+1}=-1}\).

Dzięki

[norwimaj]

Bo źle przeczytałem treść. Nie wiem czemu zrozumiałem że \(\displaystyle{ Y_n=U_n-S_n}\), gdzie \(\displaystyle{ U_n=\max_{k \le n} S_k}\). Czyli to wszystko co wyżej napisałem, jest od rzeczy.

Zauważ najpierw, że \(\displaystyle{ Y_{n+1}}\) może przyjąć tylko cztery wartości: \(\displaystyle{ 1-1=0,1-(-1)=2,0-1=-1,0-(-1)=1}\).

[tometomek91]

A żeby nie robić nowego tematu, jak uzasadnić, że jeśli \(\displaystyle{ Y_n=X_nX_{n+1}}\), to dla \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}}\) ciąg \(\displaystyle{ (Y_n)}\) jest łańcuhcem Markowa?

Tutaj \(\displaystyle{ Y_n= \pm 1}\), zatem niech \(\displaystyle{ s_0,s_1,...,s_n \in \{ -1,1 \}}\), wtedy
\(\displaystyle{ P(Y_n=s_n | Y_{n-1}=s_{n-1},...,Y_0=s_0)=P(X_nX_{n+1}=s_n | X_{n-1}X_{n}=s_{n-1},...,X_0X_1=s_0) \overbrace{=}^{ozn.} P(A|B)= \sum_{i} P(A|H_i \cap B) \cdot P(H_i | B)}\)
Nie wiem czy z tego wzoru mam skorzystać i co przyjąć jako rozbicie. Może \(\displaystyle{ H_1=\{ X_n=1 \}}\) i \(\displaystyle{ H_2= \{X_n= -1 \}}\)?

Co do tamtego zadania, to jeszcze je przemyślę