Wartość oczekiwana, dowód

[Arst]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dodatnią zmienną losową o dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\), t.że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{\alpha}<\infty}\), to

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{\alpha}=\alpha \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}(1-F(x)) \mbox{d}x}\)

Mam wskazówkę, żeby scałkować przez części, więc tak postępuję:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{\alpha} = \int_{\RR} x^{\alpha} \mbox{d}F(x) \stackrel{X>0}{=} \left[ x^{\alpha}F(x)\right] _{0}^{\infty}-\alpha \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}F(x)\mbox{d}x \\ = \alpha \lim_{x \to \infty} F(x) \int_{0}^{x} t^{\alpha-1} \mbox{d}t - \alpha \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}F(x) \stackrel{(\triangle)}{=} \alpha \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} \mbox{d}x-\alpha \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}F(x)\mbox{d}x \\ =\alpha \int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}(1-F(x)) \mbox{d}x}\)

Mam jednak pytanie, czy takie przejście \(\displaystyle{ (\triangle)}\) jest dozwolone na mocy tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{\alpha}<\infty}\) i stąd granica ta musi być skończona?

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Wasilewski]

Wypisz te wszystkie równości, zastępując nieskończoność w górnej granicy całkowania przez \(\displaystyle{ M}\) (wtedy te całki są skończone i przejścia mają sens), a na koniec przejdź do granicy, korzystając z ulubionego twierdzenia Lebesgue'a.