Ono już zostało rozwiązane:moniczkaam pisze:Bardzo proszę o pomoc przy zadaniu :
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) są niezależne i mają tę samą funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \varphi (t)}\). Zmienna losowa N jest od nich niezależna i ma rozkład Poissona \(\displaystyle{ P(\lambda)}\). Wykazać, że losowa suma \(\displaystyle{ X_1+...+X_N}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ exp[\lambda( \varphi (t) -1 )]}\).
Z gory dziekuje za pomoc
Ale ja nie do końca to rozumiem.luka52 pisze:Niech \(\displaystyle{ S_N = X_1 + \ldots + X_N}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (e^{itS_N}) = \sum_{k = 0}^{+\infty} P(N = k) \mathbb{E} (e^{itS_k}) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \varphi^k(t) = e^{\lambda(\varphi(t) - 1)}}\)
Otóż N jest tutaj indeksem losowym, który z racji posiadania rozkładu Poissona przyjmuje wartości od 0 wzwyż. Natomiast suma losowa, której liczymy funkcję charakterystyczną ma postać:
\(\displaystyle{ S _{N}=X _{1}+...+X _{N}}\). LIcząc funkcje charakt wg tego co jest napisane wyzej, pojawia mi się \(\displaystyle{ X _{0}}\), o którym nic nie wiem. Bo przecież w tresci zad jest tylko o zmiennych \(\displaystyle{ X _{1},..., X _{n},...}\). Wiec chyba nie rozumiem jak to zad zostalo zrobione .
