Wartośc oczekiwana zmiennej o dystrybuancie

[Arst]

Witam,

proszę tylko o sprawdzenie:

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F(x)=e^x \chi_{(-\infty,-1]}(x)+0,5 \chi_{(-1,1]}(x)+\left ( 1-\frac{1}{3x^3} \right )\chi_{(1,\infty]}(x)}\)

Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\frac{1}{6}-\frac{1}{e}}\)

i drugi przykład:
\(\displaystyle{ F(x)=0\chi_{(-\infty,0]}(x)+(x+a)\chi_{(0,\frac{1}{2}]}(x)+1\chi_{(\frac{1}{2},\infty]}(x), \qquad 0<2a<1}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\frac{3}{8}-\frac{a}{2}}\)

Ogólnie postępuję w ten sposób, że tam gdzie dystrybuanta jest różniczkowalna, to liczę ze wzoru:
\(\displaystyle{ \int_{\RR} xF'(x) \mbox{d}x}\) a tam gdzie ma skoki, to \(\displaystyle{ \sum_{i}^{} x_i\mathbb{P}(X=x_i)}\) i dodaję wszystko.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[szw1710]

Nie sprawdzałem szczegółowych rachunków. Przedstawiony opis metody jest ważniejszy. Istotnie, tak to się powinno robić w myśl wzoru

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{\RR}x\dd F(x),}\)

gdzie powyższa całka rozumiana jest w sensie Riemanna-Stieltjesa.